Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

112 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
( ⋃
Nach 12.4 ist T n+1 unabhängig von σ
i≤n
E 0 :=
A i
)
=: E n . Da A ∈ T n+1 für jedes n ∈ N, ist
∞⋃
E n ⊆ D A .
n=1
Wegen E n ⊆ E n+1 ist E 0 ∩ -stabil. Damit ist aber nach 7.18
Ferner ist T n ⊆ σ(E 0 ) für n ∈ N. Damit ist
σ(E 0 ) = δ(E 0 ) ⊆ D A .
A ∈ T n ⊆ σ(E 0 ) ⊆ D A .
✷
12.8 Korollar
Für jede unabhängige Folge (A n ) n∈N in A gilt:
P [ ] [ ]
lim sup A n = 0 oder P lim sup A n = 1.
n→∞
n→∞
Beweis: Sei A n := σ(A n ). Dann ist nach 12.4 (A n ) n∈N ein unabhängiges System. Damit ist
T n := ⋃
A i ∈ T n ⊇ T n+k (k ∈ N)
i≥n
und damit
T n ⊇ T n+k ∈ T n
(k ∈ N).
Damit ist aber auch
Es folgt
Also ist lim sup A n ∈ T ∞ .
n→∞
lim sup A n =
n→∞
n=1
12.9 Lemma (Borel-Cantelli)
⋂
T i ∈ T n .
i≥n
∞⋂ ∞⋂
T n = T i ∈ T n
i=n
Für jede Folge (A n ) n∈N ∈ A N und A := lim sup A n gilt:
n→∞
1. Ist ∑ n∈N
P[A n ] < ∞, so ist P[A] = 0.
(n ∈ N).
✷
2. Gibt es eine Teilfolge (A k(n) ) n∈N paarweise unabhängiger Mengen und ist
∑
P[A k(n) ] = ∞,
so ist P[A] = 1.
n∈N