Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

24. MARKOFFZEITEN 209
24.5 Definition
Sei (Ω, A, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Raum mit I ⊆ R + und (X t ) t∈I
Prozess auf diesem Raum. Gilt dann für alle s ∈ I, dass
{
I ∩ [0; s] × Ω → E
Y s :
(t, ω) ↦→ X t (ω)
ein adaptierter stochastischer
I ∩ B([0; s]) ⊗ F s messbar ist, so heißt (X t ) t∈I progressiv messbar bzgl. (F t ) t∈I .
24.6 Beispiel
Sei I ⊆ R + höchstens abzählbar und (X t ) t∈I an (F t ) t∈I adaptiert. Dann ist (X t ) t∈I auch progressiv
messbar.
Beweis: Sei B die σ-Algebra im Zustandsraum und B ∈ B. Dann gilt für s ∈ I
Y −1
s
(B) = ⋃ t∈I
t≤s
{t} × X −1
t (B) ∈ ( I ∩ B([0; s]) ) ⊗ F s .
✷
24.7 Satz
Sei I = R + . Ist (X t ) t∈I ein an (F t ) t∈I adaptierter Prozess mit Zustandsraum (E, B(E)) mit
rechtsseitig stetigen Pfaden, so ist (X t ) t∈I progressiv messbar.
Beweis: Für s ∈ I und n ∈ N sei
⎧
⎪⎨ I ∩ [0; s] × Ω →
{
E
Ys n :
X
⎪⎩ (t, ω) ↦→ (k+1)2 −n(ω),
X s (ω)
t ∈ [k2 −n , (k + 1)2 −n ) mit k ∈ N 0 , k + 1 ≤ 2 n s
sonst.
Sei k n := [2 n s − 1]. Dann ist für B ∈ B(E)
(Y n
s ) −1 (B) =
⋃
k∈N 0
(k+1)2 −n ≤s
∈ B([0; s]) ⊗ F s .
(
) (
)
[k2 −n , (k + 1)2 −n ) × X −1
(k+1)2
(B) ∪ [(k −n n + 1)2 −n , s] × Xs
−1 (B)
Damit ist Y s := lim Y s n B([0; s]) ⊗ F s -messbar. ✷
n→∞
24.8 Hauptsatz
Sei I ⊆ R + und (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, T eine Stopp- bzw.
Optionszeit bzgl (F t ) t∈I und (X t ) t∈I∩T (Ω) ein progressiv messbarer stochastischer Prozess mit
Zustandsraum (E, B).
Dann ist die Abbildung
{
{T < ∞} → E
X T :
ω ↦→ X T (ω) (ω)
{T < ∞} ∩ F T - bzw. {T < ∞} ∩ F T + -messbar, also insbesondere F ∞ - und A-messbar.