Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

132 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
15 Grenzwertsätze
Stets sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, Y n reelle Zufallsvariable (n ∈ N) und µ ∈ M 1 +(R).
Man sagt, Y n genügt einem Grenzwertsatz mit Grenzverteilung µ, wenn
P Yn
schwach
−−−−−→ µ.
15.1 Beispiel
1. Sei (Ω, A) = (R, B(R), Y n = id R , (n ∈ N). Dann ist wegen P Yn = P (nn ∈ N)
P Yn
schwach
−−−−−→ P.
2. Seien (X n ) n∈N reelle Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) und
Dann gilt wegen 14.5
Y n := 1 n
n∑
(X i − E[X i ]).
i=1
(X n ) n∈N genügt dem schwachen Gesetz ⇐⇒ P Yn
schwach
−−−−−→ ɛ a .
3. Aus der elementaren Stochastik kennt man den Poisson’schen Grenzwertsatz:
Sei (p n ) n∈N ∈ (0; 1) N mit
(n ∈ N). dann gilt
lim p n = α ∈ R + und Y n eine B(n, p n )-verteilte Zufallsvariable
n→∞
P Yn
schwach
−−−−−→ π α .
4. Ebenfalls aus der elementaren Stochastik ist der Satz von de Moivre-Laplace bekannt. Dies ist
ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes:
Sei 0 < p < 1 und (X n ) n∈N eine Familie unabhängiger, B(1, p)-verteilter Zufallsvariablen.
Definiere
( ∑ n
s n := σ[X 1 + . . . + X n ] = Var[X i ]) 1 2
√
= np(1 − p),
n∑
X i − np
i=1
Y n := √
np(1 − p)
i=1
Dann gilt
P Yn
schwach
−−−−−→ N 0,1 .
5. Allgemein betrachten wir Folgendes: Seien (X n ) n∈N unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
und
und
σ n := σ[X n ],
S n := X 1 + . . . + X n ,
σ n := σ[X 1 + . . . + X n ] = σ[S n ],
S ∗ n := S n − E[S n ]
s n