Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

172 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
= √ d ∫
2π
+
d∑
∫
i,j=1
i≠j
y 3( y exp ( ) )
− y2
2
dy + d(d − 1)(Var[N 0,1 ]) 2
= √ d (
−y 3 exp ( ) ∣ ∞
− y2
2π
2 ∣
−∞
} {{ }
=0
= d(d + 2)
20.4 Bemerkungen
∫
+3
y 2 exp ( )
− y2
2 dy
} {{ }
= √ 2π
∫
. . .
x 2 i x 2 jN 0,1 [dx 0 ] . . . N 0,1 [dx d ]
)
+ d(d − 1) = 3d + d(d − 1)
1. Je zwei Brown’sche Bewegungen mit derselben Startverteilung, also insbesondere zwei normale
Brown’sche Bewegungen sind äquivalent (19.5.2).
2. Ist (Y t ) t∈R+ ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum R d und fast sicher stetigen Pfaden, der
zu einer d-dimensionalen Brown’schen Bewegung äquivalent ist, so ist (Y t ) t∈R+ eine Brown’sche
Bewegung in R d (19.5.1).
20.5 Hauptsatz
Für jede Dimension d ≥ 1 und jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ ∈ M 1 +(R d ) gibt es genau ein
Wahrscheinlichkeitsmaß P µ auf ( C(R + , R d ), B(C(R + , R d )) ) , so dass der C(R + , R d )-kanonische
Prozess eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung ist mit Startwahrscheinlichkeit P µ X 0
= µ.
P µ ist die Einschränkung des äußeren Markoff-Maßes auf C(R + , R d ) zur Startwahrscheinlichkeit
µ und zur Brown’schen Faltungshalbgruppe im R d .
✷
Beweis: Nach 19.4 hat der kanonische Prozess unabhängige und stationäre Zuwächse der geforderten
Art und Startverteilung µ. Die Behuptung folgt daher aus 17.9, 19.5 und 17.10.3, sofern
C(R + , R d ) wesentlich bzgl. des projektiven Limes ist. Dies folgt aber aus 17.11 und 17.12, da nach
20.3 für n ≥ 2 die Kolmogoroff-Chentsov-Bedingung mit α = 2n, β = n − 1, c = c n erfüllt sind,
denn
E[||X t − X s || 2n ] = c n |t − s| n .
20.6 Definition
Für x ∈ E sei P x := P ɛx . Das Radon-Maß P 0 liefert das d-dimensionale Wiener-Maß.
Die C(R + , R d )-kanonische Brown’sche Bewegung ist bzgl. des Wiener-Maßes normal, denn P 0 X 0
=
ɛ 0 , d.h. X 0 = 0 fast sicher.
20.7 Bemerkung
Sei x ∈ R d . Definiere
T x :
{
C(R + , R d ) → C(R + , R d )
ω ↦→ x + ω : t ↦→ x + ω(t).
Dann ist T x bzgl. lokal gleichmäßiger Konvergenz stetig, insbesondere Borel-messbar.
Beh: Es gilt P x = T x (P 0 ).
✷