Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

20. DIE BROWN’SCHE BEWEGUNG 177
20.13 Satz
Fast sicher ist jeder Pfad einer Brown’schen Bewegung in R d lokal Hölder-stetig mit jedem
Exponenten γ ∈ (0; 1 2 ).
Beweis:
Nach 17.12 existiert eine lokal Hölder-stetige Modifikation (Y t ) t≥0 , mit Exponenten, der für ein
n ∈ N 0 < γ < n−1
2n
erfüllt, d.h. mit beliebigem Exponenten 0 < γ < 1 2
(vgl. 20.3, 20.5), also ist
(Y t ) t≥0 eine Brown’sche Bewegung. Aus P[X t ≠ Y t ] = 0 (t ∈ R + ) folgt mit A t := {ω : X t (ω) ≠
Y t (ω)} (t ∈ Q + ) und dem Borel-Cantelli-Lemma 12.9
P[X t ≠ Y t für höchstens endlich viele t ∈ Q + ] = 1.
Da aber sowohl fast alle Pfade von (X t ) t∈I als auch von (Y t ) t∈I stetig sind, ist
Wieder wegen der Stetigkeit der Pfade ist damit
P[X t = Y t t ∈ Q + ] = 1.
P[X t = Y t , t ∈ R + ] = 1,
also die Behauptung.
20.14 Bemerkung
Man kann zeigen, dass die Schranke 1 2
im vorangegangenen Satz scharf ist. Siehe z.B. [BW], 47.3.
✷
20.15 Hauptsatz
Fast alle Pfade einer d-dimensionalen, Brown’schen Bewegung sind nirgends rechtsseitig diferenzierbar.
Beweis: Es genügt, die Behauptung für den Fall d = 1 und die Einschränkung der reellen
Brown’schen Bewegung (X t ) t∈I für jedes Intervall I = [0; a) mit a > 0 zu beweisen.
Sei
{
X t+s (ω) − X t (ω) X t+s (ω) − X t (ω)
}
A := ω ∈ Ω : ∃t ∈ I, −∞ < lim inf
≤ lim sup
< ∞ .
s→0+ s
s→0+ s
Wir beweisen schärfer:
Beh: A ist in einer Nullmenge enthalten.
Wir beweisen, dass fast sicher, wenn der Pfad einer Brown’schen Bewegung rechtsseitig differenzierbar
wäre, die Ableitung unendlich groß wäre. Setze hierzu
A mn = { ω ∈ Ω : ∃t ∈ I : |X t+s (ω) − X t (ω)| ≤ ms (s ∈ [0; 4a n ))} ,
Damit ist
A ⊆
⋃
m,n∈N
A mn
und A mn ist eine aufsteigende Folge in n für festes (m ∈ N). Also ist nur zu zeigen, dass für alle
m, n die Menge A mn in einer Nullmenge enthalten ist.
1. Sei ω ∈ A mn und t ∈ I mit
|X t+s (ω) − X t (ω)| ≤ ms (s ∈ [0; 4a n ).