Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Kapitel 5
Stochastische Prozesse
Ziel dieses Kapitels ist die Modellierung zeitabhängiger, zufälliger Vorgänge. Beispiele sind:
1. Brown’sche Bewegung: Modell für die Bewegung eines Teilchens in einem Gas oder einer Flüssigkeit,
entdeckt 1828 von Robert Brown, einem schottischen Botaniker,
2. Aktienkurse: erstmals modelliert 1900 von Louis Bachelier.
Dabei betrachten wir eine Familie von Zufallsvariablen (X t ) t∈I , wobei X t den Zustand des Systems
zur Zeit t beschreibt Betrachtet wird dabei die kontinuierliche Zeit anstatt einer Folge von
Zufallsvariablen.
17 Konstruktion stochastischer Prozesse
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (E, B) ein Messraum und ≠ ∅ eine beliebige
Indexmenge.
17.1 Definition und Bemerkung
1. Ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum E und Parameter- oder Zeitmenge I heißt jede
Familie (X t ) t∈I von Zufallsvariablen
Wir schreiben auch (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B).
X t : Ω −→ E.
2. Für ω ∈ Ω heißt
X I (ω) :
{
I
t
→ E
↦→ X t (ω)
Pfad, Trajektorie, Realisierung oder möglicher Verlauf von ω und
Pfadmenge.
X I (Ω) = {X I (ω) : ω ∈ Ω} ⊆ E I
3. Typischerweise ist
I = R + , N, Z, R, [a, b].
Außerdem ist (E, B) typischerweise polnisch mit B = B(E), z.B.
E = R d , {−1, 1}, [α, β], {0, . . . , n}.
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