Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Kapitel 1
Maße und Integrale
1 σ-Algebren und ihre Erzeuger
Sei stets Ω ≠ ∅ beliebig. In der Stochastik heißt die Menge Ω Grundgesamtheit, Ereignis-,
Merkmals-, Ergebnis- oder Stichprobenraum. Außerdem bezeichne E ⊆ P(Ω) ein Mengensystem
in Ω, das in der Stochastik dann eine Menge von Ereignissen darstellt.
1.1 Definition
Ein Mengensystem A ⊆ P(Ω) in Ω heißt σ-Algebra in Ω, wenn gilt:
1. Ω ∈ A,
2. A ∈ A ⇒ CA ∈ A
3. A n ∈ A (n ∈ N) ⇒ ⋃ n∈N
A n ∈ A.
1.2 Satz
In jeder σ-Algebra A von Ω gilt:
4. ∅ ∈ A
5. A n ∈ A (n ∈ N) ⇒ ⋂ A n ∈ A
n∈N
6, A, B ∈ A ⇒ A ∪ B, A ∩ B, A \ B ∈ A
Beweis.
4. Da Ω ∈ A, folgt die Behauptung mit 2. aus ∅ = CΩ ∈ A
5. Es gilt
Damit folgt die Behauptung nach 2.
6. Es gilt
n=1
∞⋂
n=1
(
⋃ ∞
A n = C
n=1
CA
}{{} n
∈A
} {{ }
∈A
∞⋃
∞⋂
A ∪ B = A ∪ B ∪ ∅, A ∩ B = A ∩ B ∩ Ω, und A \ B = A ∩ CB.
5
n=1
)
.