Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

17. KONSTRUKTION STOCHASTISCHER PROZESSE 151
3. Gilt für (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und (Ω, A, P, (Y t ) t∈I , E, B)
P[(X t ) t∈J = (Y t ) t∈J ] = 1
(J ⊂⊂ I),
so heißen die beiden Prozesse ununterscheidbar. Insbesondere sind (X t ) t∈I und (Y t ) t∈I Modifikationen.
17.5 Satz
Ist (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen über (E, B) und existiert
der projektive Limes P = P J , so hat der Koordinatenprozess
lim ←−
J ⊂⊂ I
(E I , B I , lim ←−
P J , (π t ) t∈I , E, B)
J ⊂⊂ I
die endlich-dimensionalen Randverteilungen (P J ) J⊂⊂I .
Insbesondere existiert zu jedem Prozess (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) ein äquivalenter Koordinatenprozess
(E I , B I , VertX I , (π t ) t∈I , E, B)
Beweis: Definitionsgemäß ist nach 10.4
π J ( lim ←−
P J ) = P J .
J ⊂⊂ I
Damit ist
also ist (π t ) t∈I eine Version von (X t ) t∈I .
π J (P) = π J (VertX I ) = (π J ◦ X I )(P) = X J (P),
✷
17.6 Korollar
Ist (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf einem polnischen Raum
(E, B), so existiert der projektive Limes P J und der Koordinatenprozess
lim ←−
J ⊂⊂ I
(E I , B I , lim ←−
P J , (π t ) t∈I , E, B)
J ⊂⊂ I
hat die endlich-dimensionalen Randverteilungen (P J ) J⊂⊂I .
Beweis: Folgt aus 10.7.
✷
17.7 Beispiel
Äquivalente Prozesse können sehr unterscheidliche Pfadmengen haben. Dies illustrieren folgende
Beispiele:
1. Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess mit polnischem Zustandsraum E und (π t ) t∈I der äquivalente
Koordinatenprozess. Für die Pfadmenge der beiden Prozesse gilt jedoch im Allgemeinen
da π I = id EI .
X I (Ω) E I und π I (E I ) = E I ,
2. Sei (Ω, A, P) = (R, B(R), N 0,1 ), E = R + und I = R + . Definiere
X t : ω ↦→ 0, Y t : ω ↦→ 1 {t} (ω) = 1 {ω} (t) (t ∈ I).