Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 71
7.20 Korollar
Jedes σ-endliche Prämaß m auf einem Halbring H lässt sich eindeutig zu einem Maß auf die von
H erzeugt σ-Algebra fortsetzen.
Beweis: Sei E := {E ∈ H : m[E] < ∞}. Damit ist E ∩-stabil und E ⊆ H ⊆ σ(E). Deshalb ist
σ(E) = σ(H) ⊆ σ(R loc ) für den von H erzeugten Ring R.
Die Fortsetzung von m zu einem Prämaß auf R ist semiendlich. Wendet man nun den Fortsetzungssatz
7.11 zunächst auf σ(R loc ) an und betrachtet dann die Restriktion auf σ(E)), so hat man
das Prämaß m auf σ(H) fortgesetzt. Wendet man nun den Eindeutigkeitssatz 7.19 mit E auf σ(E)
an, so folgt die Behauptung.
✷
7.21 Bemerkung
In 7.19 reicht die Endlichkeit von m 1 und m 2 auf E noch nicht aus. Sei dazu E := {∅} und
A = σ(E) = {∅, Ω}. Dann stimmen
⎧
{
A → [0; ∞]
⎪⎨ A → [0;
{
∞]
m 1 :
, m 2 : 0, A = ∅
A ↦→ 0
⎪⎩ A ↦→
1, A = Ω.
zwar auf E überein, aber nicht auf A.
7.22 Definition
Sei Ω ein topologischer Raum mit Topologie G(Ω), B(Ω) die Borel’sche σ-Algebra auf Ω, K(Ω)
die Menge aller kompakten Mengen in Ω und m ein Maß auf B(Ω).
1. Das Maß m heißt lokal endlich oder Borel-Maß, wenn jedes ω ∈ Ω eine Umgebung endlichen
Maßes besitzt.
2. Ein Radon-Maß ist ein von innen K(Ω)-reguläres Borel-Maß.
3. Ω heißt polnisch, wenn Ω vollständig metrisierbar und seperabel ist, d.h. es gibt eine abzählbare
dichte Teilmenge von Ω.
7.23 Bemerkung
1. Sei m ein Borel-Maß auf Ω. Dann hat jede kompakte Menge wegen der Überdeckungseigenschaft
kompakter Mengen endliches Maß.
2. Ist m ein Maß auf Ω, Ω lokal-kompakt und hat jede kompakte Menge endliches Maß, so ist m
ein Borel-Maß.
3. Ein vollständig metrisierbarer Raum ist genau dann seperabel, wenn er eine endliche Basis hat.
7.24 Beispiele
1. Der Raum R n ist für n ∈ N, versehen mit der kanonischen Topologie, polnisch.
2. Sei Ω polnisch. Dann gilt
A ⊆ Ω polnischer Unterraum
⇐⇒ A ∈ G(Ω) δ :=
{
B ⊆ Ω : ∃(G n ) n∈N ∈ (G(Ω)) N : B = ⋂ n∈N
G n
}
.
Vergleiche hierzu [Qu], p.150.