Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

8 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
Ist überdies Ω σ-kompakt, d.h. es gibt eine Folge kompakter Mengen (K n ) n∈N ⊆ (P(Ω))N mit
Ω =
∞⋃
K n ,
so ist jede abgeschlossene Menge Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen.
Beh: Dann wird B(Ω) auch von allen kompakten Mengen erzeugt (z.B. Ω = R n ).
Denn: Definiere
C(Ω) := {K ⊆ Ω : K kompakt}.
Sei A ∈ F(Ω). Dann ist für K ∈ C A ∩ K kompakt, also gilt für A ∈ F(Ω)
A = A ∩ ⋃ n∈N
n=1
K n = ⋃ A ∩ K n ∈ σ(C(Ω))
} {{ }
n∈N
kompakt
und damit
also
σ(F(Ω)) ⊆ σ(σ(C(Ω))) = σ(C(Ω)) ⊆ σ(F(Ω)),
σ(F(Ω)) = σ(C(Ω)).
✷
3. Im R n ist jedes n-dimensionale Intervall (d.h. jedes Produkt eindimensionaler, nicht notwendig
beschränkter Intervalle) Schnitt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalles, also
Borel’sch. Umgekehrt ist jede offene Menge Vereinigung aller in ihr enthaltenen
1. beschränkten offenen Intervallen,
2. beschränkten abgeschlossenen Intervallen,
3. beschränkten halboffenen Intervallen,
4. endlichen Differenzen unbeschränkter halboffener Intervalle
jeweils mit komponentenweisen rationalen Endpunkten. Deshalb wird σ(R n ) von den Mengensystemen
aus 1.-4. erzeugt.
4. Obwohl letztlich alle in der Analysis auftretenden Mengen auch durch abzählbare Vereinigung
bzw. Durchschnitt von offenen Mengen bilden lassen und damit Borel’sch sind, gibt es nicht-
Borel’sche Mengen in jedem R n (siehe [BM]), die sogar alle Projektionen hochdimensionaler
Borelsch’er Mengen sind (siehe [Fl], Bsp. 17.25)
1.8 Satz
Sei X : Ω ′ −→ Ω und E ⊆ P(Ω). Dann gilt:
(
X −1 (E) ) = X −1( σ Ω (E) )
σ Ω ′
Insbesondere ist für jede σ-Algebra A in Ω das Mengensystem X −1 (A) eine σ-Algebra in Ω ′ .
Beweis.
1. Sei A eine σ-Algebra in Ω
Beh: X −1 (A) ist eine σ-Algebra in Ω ′ .
1. Ω ′ = X −1 (Ω) ∈ X −1 (A).
2. Sei A ′ ∈ X −1 (A). Dann gibt es ein A ∈ A mit A ′ = X −1 (A). Damit ist CA ′ = CX −1 (A) =
X −1 (CA) ∈ X −1 (A).