Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

198 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
23 Martingale, Sub- und Supermartingale
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
23.1 Definition
1. Sei (I, ≤) eine nicht notwendig total geordnete Menge und (F t ) t∈I eine Filtration, d.h. für jedes
t ∈ I ist F t eine Unter-σ-Algebra von A und
F s ⊆ F t (s, t ∈ I, s ≤ t).
und (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahr-
Dann heißt (Ω, A, (F t ) t∈I ) filtrierter Messraum
scheinlichkeitsraum.
2. Sei I := I ⊎ {∞} mit t ≤ ∞ (t ∈ I). Damit ist die Ordnung auf I auf I fortgesetzt und
F ∞ := σ ( ⋃ )
F t .
t∈I
3. Für t ∈ I sei
Dann ist F t+ eine σ-Algebra.
F t+ := ⋂ s∈I
s≤t
F s .
Gilt F t = F t+ (t ∈ I), so heißt die Filtration rechtsstetig. Ein stochastischer Prozess (X t ) t∈I
auf (Ω, A, P) heißt an eine Filtration (F t ) t∈I adaptiert, wenn jedes X t F t -messbar ist.
23.2 Beispiel
Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess auf (Ω, A, P). Dann wird durch
F ∗ ≤t := σ(X s : s ∈ I, s ≤ t)
die sogenannte kanonische Filtration des Prozesses definiert, d.h. die kleinste Filtration, an die
der Prozess (X t ) t∈I adaptiert ist. Dabei nennt man F ≤t auch σ-Algebra der t-Vergangenheit.
23.3 Definition
Sei (Ω, A, P, (F t ) t∈I ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum und (X t ) t∈I ein adaptierter stochastischer
Prozess auf (Ω, A, P). Gilt dann
1. E[|X t |] < ∞ (t ∈ I),
2. X s ≥ E[X t |F s ] fast sicher (s, t ∈ I, s ≤ t),
dann heißt (X t ) t∈I Supermartingal bzgl. (F t ) t∈I oder ein (F t ) t∈I -Supermartingal. Kurz sagt man
auch, (X t , F t ) t∈I ist ein Supermartingal.
Ist (−X t ) t∈I ein Supermartingal bzgl. (F t ) t∈I , dann heißt (X t ) t∈I Submartingal. Sind sowohl
(X t ) t∈I als auch (−X t ) t∈I Supermartingale bzgl. (F t ) t∈I , dann heißt (X t ) t∈I Martingal bzgl.
(F t ) t∈I .
Ist (F t ) t∈I = (F ≤t ) t∈I die kanonische Filtration von (X t ) t∈I , so spricht man von Supermartingalen,
Submartingalen oder Martingalen schlechthin.