Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

20 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3.9 Hauptsatz
Für jede Funktion f : Ω → B ∈ B(R) sind äquivalent:
1. f ist A − B(R)-messbar,
2. f ist A − B ∩ B(R)-messbar,
3. {f < α} ∈ A für alle α ∈ R.
In 3. kann man dabei ’’,’≤’ oder ’≥’ ersetzen.
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Ist klar, da B ∩ B(R) ⊆ B(R).
⎧
[−∞, α] für ’ ≤ ’,
⎪⎨
[−∞, α) für ’ < ’,
“2. ⇒ 3.”: Sei α ∈ R und C α :=
[α; ∞] für ’ ≥ ’,
⎪⎩
(α; ∞] für ’ > ’.
Im Fall ’ α} ∈ A
und
{g ≤ f} = C{f < g} ∈ A.
Durch Vertauschen von f und g folgt die Behauptung bis auf
{f = g} = {f ≤ g} ∩ {g ≤ f} ∈ A
und
{f ≠ g} = C{f = g} ∈ A.
✷