Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

96 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
10.7 Korollar (Kolmogoroff)
Ist (Ω i ) i∈I eine Familie polnischer Räume, A i = B(Ω i ) die Borel’sche σ-Algebra in Ω i (i ∈ I),
so existiert zu jeder projektiven Familie (P J ) J⊂⊂I von Wahrscheinlichkeitsmaßen P J auf
(Ω J , B(Ω J )) der projektive Limes P = lim ←−
P J .
J ⊂⊂ I
Insbesondere existiert zu jeder Familie (P i ) i∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen P i auf (Ω i , B(Ω i ))
genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß
P = ⊗ i∈I
P i auf ( ∏
mit π J (P) = ⊗ j∈J
P j , d.h.
P [ ∏ A j ×
j∈J
i∈I
Ω i , ⊗ i∈I
∏
i∈I\J
B(Ω i ) ) bzw. ( Ω I , B(Ω I ) ) , falls I abzählbar ist
] ∏
Ω i = P j [A j ] (J ⊂⊂ I, A j ∈ A j ).
j∈J
Beweis: Die Behauptung folgt aus 7.25, 9.6 und 10.6.
✷
10.8 Bemerkung
Die Existenz und Eindeutigkeit des Produktmaßes ⊗ i∈I
P i lässt sich auch für beliebige Wahrscheinlichkeitsräume
(Ω i , A i , P i ) beweisen (vgl. [BW], §9), aber nicht die des projektiven Limes.
10.9 Definition
1. Eine Familie (E i ) i∈I mit E i ⊆ A (i ∈ I) heißt unabhängig, wenn
P [ ⋂ ] ∏
A j = P[A j ] (J ⊂⊂ I A j ∈ E j )
gilt.
j∈J
j∈J
2. Eine Familie (A i ) i∈I ∈ A I heißt unabhängig, wenn ({A i }) i∈I unabhängig ist.
3. Eine Familie (X i ) i∈I von Zufallsvariablen X i : (Ω, A) → (Ω i , A i ) heißt unabhängig, wenn
(σ(X i )) i∈I unabhängig ist, d.h. wenn
P[X j ∈ A j : j ∈ J] = P [ ⋂
{X j ∈ A j } ] = ∏ P[X j ∈ A j ] (J ⊂⊂ I, A j ∈ A j ).
j∈J
j∈J
10.10 Bemerkung
Wie aus der elementaren Stochastik bekannt, folgt aus der paarweisen Unabhängigkeit von Mengensystemen,
Ereignissen oder Zufallsvariablen nicht die Unabhängigkeit.