Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 187
Halbnorm ||.|| 2 von L 2 (B). Zu f ∈ L 2 +(B) gibt es eine Folge (t n ) n∈N von B-Treppenfunktionen
mit t n ↑ f. Mit dem Satz über monotone Konvergenz folgt
∫
∫
lim |f − t n | 2 dP = lim |f − t n | 2 dP| B = 0
n→∞
n→∞
mit
∫
∫
t n dP =
t n dP| B .
Da der Hilbertraum L 2 (B) als vollständiger Unterraum von L 2 (A) in L 2 (A) abgeschlossen ist,
gibt es nach dem Projektionssatz (siehe [Ru], 12.3, 12.4) zu ˆf ∈ L 2 (A) genau ein ĝ ∈ L 2 (B) mit
bestimmt durch die Eigenschaft
|| ˆf − ĝ|| = min || ˆf − ĥ||,
ĥ∈L 2 (B)
〈 ˆf − ĝ, ĥ〉 = 0 (ĥ ∈ L2 (B).
Also folgt die Behauptung mit X = ˆf mit X B = g.
Für B ∈ B ist mit 1 B = ĥ
∫ ∫
∫
∫
XdP = X1 B dP = X B 1 B dP = X B dP.
B
B
✷
22.5 Hauptsatz
Zu X ∈ L 1 (Ω, A, P) gibt es eine P-fast-sicher eindeutig bestimmte, B-messbare Funktion
X B ∈ L 1 (Ω, A, P) mit ∫
∫
X B dP = XdP (B ∈ B).
Ist X ≥ 0, so auch X B P-fast sicher.
B
B
Beweis:
Existenz: Sei zunächst X ≥ 0 und
⎧
⎨B → [0;
∫
∞)
Q :
⎩B
↦→ XdP
ein endliche Maß auf B. Damit ist Q