Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

114 KAPITEL 3. GESETZE DER GROSSEN ZAHLEN
12.11 Lemma
Ist (X n ) n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen, A n := σ(X n ) und (α n ) n∈N eine reelle Nullfolge.
Dann sind
1. lim inf X n, lim sup X n und
n→∞
2. lim inf α n
n∈N
n∑
i=1
n∈N
X i , lim sup α n
n∈N
∑ n
X i
i=1
messbar bzgl. der σ -Algebra T ∞ der terminalen Ereignisse der Folge X n . Man sagt auch, die
obigen Funktionen sind sogenannte terminale Funktionen.
Beweis: Sei stets T n := σ(X k : k ≥ n) und T ∞ :=
1. Definiere Y n := inf
k≥n X k. Dann ist
∞⋂
T n .
n=1
lim inf X n = sup Y n .
n→∞
Damit ist Y n messbar bzgl. T n , also wegen T n ⊆ T k für n ≥ k auch T k -messbar. Wegen
Y k ≤ Y n für n ≥ k ist lim inf X n = sup Y n für k ∈ N T k -messbar, also T ∞ -messbar.
n→∞
n∈N
n∈N
Ebenso zeigt man die Behauptung für lim sup X n = − lim inf (−X n).
n→∞
n→∞
2. Definiere
Z k n := α n
∑ n
X i
i=k
Dann ist Z k n für n ≥ k T k -messbar. Definiere für n ≥ k
Y n := α n
n
∑
i=1
k−1
∑
X n = α n
(n ≥ k).
i=1
X i
} {{ }
→0 für n→∞
+Z k n.
Da
lim sup
n→∞
Y n = lim sup Zn k (k ∈ N)
n→∞
n≥k
und Zn k T k -messbar ist (k ∈ N), ist lim sup Zn k T ∞ -messbar.
n→∞
n≥k
n∑
Ebenso zeigt man die Behauptung für lim inf α n X i .
n→∞
i=1
✷
12.12 Satz
Für jede unabhängige Folge (X n ) n∈N reeller Zufallsvariablen ist jede terminale Funktion X fast
sicher konstant.
Beweis: Sei α ∈ R. Nach 12.7 ist P[X ≤ α] = 0 oder P[X ≤ α] = 1. Ist P[X ≤ α] = 0 für alle
α ∈ R, folgt X = ∞ fast sicher und aus P[X ≤ α] = 1 für alle α ∈ R, folgt X = −∞ fast sicher.