Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

30 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
4.5 Hauptsatz
Definiere E σ (Ω, R, m) := (E(Ω, R, m)) σ .
Die Abbildung
{
E σ (Ω, R, m) → (−∞; ∞]
µ σ :
f ↦→ sup n∈N µ(f n ) ,
wobei (f n ) n∈N eine Folge in E(Ω, R, m) ist mit f n ↑ f) ist ein isotones, lineares Funktional auf
dem Kegelverband E σ (Ω, R, m) und sogar ein Daniell-Integral, d.h.
µ σ (sup f n ) = sup µ(f n )
n∈N n∈N
((f n ) n∈N ∈ (E σ (Ω, R, m)) N , (f n ) n∈N isoton.)
Für eine σ-Algebra A ist
E σ (Ω, A, m) = {f ∈ L 0 (Ω, A) : ∃α ∈ R + , A ∈ A meßbar, m[A] < ∞, f ≥ −α1 A } ⊇ L 0 +(Ω, A).
Damit setzt µ σ die Funktion µ auf E σ (Ω, A, m) fort.
Beweis:
1. Nach 4.4 ist µ σ wohldefiniert und isoton. Für f, g ∈ E σ (Ω, A, m), α ∈ R + , (f n ) n∈N , (g n ) n∈N ∈
(E(Ω, A, m)) N mit f n ↑ f und g n ↑ g gilt αf n ↑ αf, f n + g n ↑ f + g, also µ(αf) = αµ(f) und
µ σ (f + g) = µ σ (f) + µ σ (g).
2. Sei (f n ) n∈N ∈ (E σ (Ω, A, m)) N mit
f n ↑ f ∈ (E σ (Ω, A, m)) σ = E σ (Ω, A, m),
(f nk ) k∈N ∈ (E(Ω, R, m)) N
mit f nk ↑ f n (n ∈ N) und
Dann ist g n ↑ f. Da g n ≤ f n folgt
µ σ (f) = sup µ(g n ) = sup
n∈N
n∈N
g n = sup f in ∈ E(Ω, A, m).
i≤n
sup
i≤n
µ(f in ) = sup
i∈N
3. Sei nun A eine σ-Algebra. Zu zeigen ist nur das erste “=”-Zeichen.
“⊆”: klar.
“⊇”: Sei
4.6 Definition
sup
n≥i
µ(f in ) = sup µ(f i ).
i∈N
f ∈ {f ∈ L 0 (Ω, A) : ∃α ∈ R + , A ∈ A meßbar, m[A] < ∞, f ≥ −α1 A }
und α ∈ R + mit f ≥ −α1 A . Dann ist f + α1 A ∈ L 0 +(Ω, A). Damit gibt es nach
3.20 eine Folge (t n ) n∈N ∈ (T + (Ω, A)) N = (E + (Ω, A, m)) N mit t n ↑ f + α1 A . Es folgt
(t n − α1 A ) n∈N ∈ (E(Ω, A, m)) N mit t n − α1 A ↑ f.
Für jede Funktion f ∈ R Ω ist
∫ ∗
fdm := (µ σ ) ∗ (f) := inf µ σ (t), (Oberintegral von f)
t∈Eσ
t≥f
∫
fdm := (µ σ ) ∗ (f) = −(µ σ ) ∗ (−f) := sup −µ σ (t). (Unterintegral von f)
∗
t∈Eσ
−t≤f
✷