Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

9. PRODUKTMASSE 89
9.16 Korollar (Fubini)
Sei m 1 ein σ-endliches Maß auf A 1 , K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach (Ω 2 , A 2 )
und m := m 1 ⊗ K 2 das Maß auf A 1 ⊗ A 2 aus 9.13. Sei f eine m-fast überall definierte reelle
A 1 ⊗ A 2 -messbare Funktion. Genau dann ist f m-integrierbar, wenn das Doppelintegral in 9.15
von |f| endlich ist. Dann ist f(ω 1 , .) ∈ L 1 (K 2 [(ω 1 , .)] für m 1 -fast alle ω 1 ∈ Ω 1 und die m 1 -fast
überall definierte Integralfunktion
∫
ω 1 ↦→ f(ω 1 , .)dK 2 [ω 1 , .]
ist m 1 -integrierbar und es gilt die Formel von 9.15 für f.
Ist K 2 [ω 1 , .] = m 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ) ein σ-endliches Maß, so ist f genau dann m-integrierbar, wenn
ein Doppelintegral in 9.15 von |f| endlich ist. Es gilt dann f(., ω 2 ) ∈ B 1 (m 1 ) für m 2 -fast-alle
ω 2 ∈ Ω 2 . Außerdem ist ebenso die m 2 -fast überall definierte Integralfunktion
∫
ω 2 ↦→ f(., ω 2 )dm 2
m 2 -integrierbar und es gelten die Formeln von 9.15 für f.
Beweis: Es genügt, den Fall eines allgemeinen Übergangskerns K 2 zu betrachten. Durch die Zerlegung
von f in f + und f − und Anwendung von 9.15 auf f + bzw. f − erhält man die Behauptung
Denn für f ≥ 0 zieht die Endlichkeit des Doppelintegrals die m 1 -Integrierbarkeit der Integralfunktion
wegen 4.7.4 nach sich, also deren Endlichkeit für m 1 -fast-alle ω 1 ∈ Ω 1 , d.h. für diese ω 1 ist
f(ω 1 , .) ∈ L 1 (K 2 [(ω 1 , .)]. Durch Addition der Formeln 9.15 für f + bzw. f − folgt die Behauptung.
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Durch vollständige Induktion erhält man nun aus 9.13 für I = {0, . . . , n}. Sei dazu (Ω i , A i ) i∈N0
Messräume.