Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 29
4.4 Lemma
Sind (f n ) n∈N , (g n ) n∈N isotone Folgen in E(Ω, R, m) mit
sup
n∈N
f n ≤ sup g n ,
n∈N
so ist
sup
n∈N
µ(f n ) ≤ sup µ(g n ).
n∈N
Beweis:
1. Sei zunächst f n , g n ≥ 0 (n ∈ N). Für j ∈ N sei f j =
k∑
α i 1 Ai eine Normaldarstellung mit
α i > 0 (i = 1, . . . , k). Für 0 < β < 1 definiere B n := {g n > βf j } (n ∈ N). Damit ist B n ∈ R
nach 3.18 und
n∑
g n ≥ βf j 1 Bn = α i β1 Ai∩B n
∈ E(Ω, R, m),
also
Die Folge (B n ) n∈N ist isoton mit
Es folgt
µ(f j ) =
und damit
B n ↑ B ⊇ {f j > 0} =
k∑
α i m[A i ] =
i=1
k∑
i=1
i=1
i=1
µ(g n ) ≥ µ(βf j 1 Bn ) = βµ(f j 1 Bn ).
n⋃
A i und damit A i ∩ B n ↑ A i ∈ R und m[A i ∩ B n ] ↑ A i .
i=1
α i
lim m[A i ∩ B n ] = lim
n→∞
k∑
n→∞
i=1
α i m[A i ∩ B n ] = lim
n→∞ µ(f j1 Bn )
sup µ(g n ) = lim µ(g n) ≥ β lim µ(f j1 Bn ) = βµ(f j )
n∈N
n→∞ n→∞
(0 < β < 1, j ∈ N).
Für β → 1 ergibt sich
und damit
sup µ(g n ) ≥ µ(f j ) (j ∈ N)
n∈N
sup
n∈N
µ(g n ) ≥ sup µ(f j ).
j∈N
2. Für allgemeine Folgen (f n ) n∈N , (g n ) n∈N definiere A = {f 1 < 0} ∪ {g 1 < 0} ∈ R. Damit ist
m[A] ≤ m[f 1 < 0] + m[g 1 < 0] < ∞.
Deswegen gibt es ein α > 0 mit f 1 , g 1 ≥ −α, also f 1 , g 1 ≥ −α1 A ∈ E(Ω, R, m). Damit erfüllen
(f n + α1 A ) n∈N , (g n + α1 A ) n∈N die Voraussetzungen von 1. und es folgt
αm[A]
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