Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

122 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
3. Eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N heißt vage konvergent gegen ein µ ∈ M b +(E), wenn
∫ ∫
lim fdµ n = fdµ (f ∈ K(E)).
n→∞
Dafür schreibt man
µ n
vage
−−→ µ.
4. Der metrische Raum E heißt lokal kompakt und im Unendlichen abzählbar, wenn es eine Folge
(K n ) n∈N kompakter Mengen gibt mit K n ↑ E.
14.2 Bemerkung
1. Beh: Der schwache Limes ist eindeutig bestimmt, d.h. für eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M b +(E)) N
und µ, ν ∈ M b +(E) mit µ n
Denn: Es gilt
schwach
−−−−−→ µ und µ n
∫ ∫
fdµ =
fdν
schwach
−−−−−→ ν ist µ = ν.
(f ∈ C b (E)).
Es genügt zu zeigen, dass µ[A] = ν[A] für alle A ∈ F(E) gilt, denn F(E) ist ein ∩-stabiler
Erzeuger von B(E) mit E ∈ F(E) und µ[E] = ν[E] < ∞.
Zunächst gibt es zu jedem A ∈ B(E) eine Menge U ∈ G(E) mit A ⊂ U ⊆ E. Zu diesen
beiden Mengen gibt es eine stetige Urysohn-Funktion f mit 0 ≤ f ≤ 1 und f| A = 1, f| CU = 0,
z.B.
d(x, CU)
f : x ↦→
d(x, A) + d(x, CU)
Es ist nämlich x ↦→ d(x, A) stetig, und d(x, A) = 0 genau dann, wenn x ∈ A.
Setze nun
U n := {x ∈ E : d(x, A) < 1 n }.
∞⋃
Damit ist U n ∈ G(E) (n ∈ N) mit A ⊆ U n und A = U n . Sei f n die obige Urysohn-
n=1
Funktion zu A und U n , also f n ↓ 1 A . Damit ist
∫
∫
∫
µ[A] = inf f ndµ 6.3
= inf f n dµ = inf
n∈N n∈N
n∈N
f n dν = ν[A].
2. Beh: Der schwache Limes von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß,
d.h. für eine Folge (µ n ) n∈N ∈ (M 1 +(E)) N , µ, ∈ M b +(E) mit µ n
schwach
−−−−−→ µ ist
µ ∈ M 1 +(E).
Denn: Es ist 1 ∈ C b (E). Damit ist
∫
∫
µ[E] = 1dµ = lim
n→∞
1dµ n = lim n[E] = 1.
n→∞
14.3 Beispiel
1. Sei (x n ) n∈N ∈ E N mit x 0 = lim x n ∈ E
n→∞
schwach
Beh: ɛ xn −−−−−→ ɛ x0 .
Denn: Für f ∈ C b (E) gilt
∫
fdɛ xn
lim
n→∞
∫
= lim f(x n) = f(x 0 ) =
n→∞
fdɛ x0 .