Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

150 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
17.2 Bezeichnungen und Bemerkung
Sei (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) ein stochastischer Prozess und ∅ ≠ J ⊆ I.
1. Definiere
(E J , B J ) := ⊗ ( ∏
j , B j ) := E, B J =
j∈J(E ⊗ j∈J
j∈J
)
B .
2. Wir bezeichnen mit
X J := ⊗ t∈J
X t = (X t ) t∈J : Ω −→ E J
die A − B J -messbare Produkt-Zufallsvariable.
3. Sei wie in Paragraph 9
π J : E I −→ E J
die kanonische Projektion und π t := π {t} . Damit ist X J = π J ◦ X I .
4. Die endlich dimensionalen Rand- oder Marginalverteilungen P J := X J (P) von (X t ) t∈I sind
Wahrscheinlichkeitsmaße auf (E J , B J ) und P I = X I (P) ist die gemeinsame Verteilung des
Prozesses. Ist J = {t 1 , . . . , t n } ⊂⊂ I, so ist P J bestimmt durch Werte auf Quadern B 1 × . . . ×
B n ∈ B J mittels
P J [B 1 × . . . × B n ] = P [ {X t1 ∈ B 1 } ∩ . . . ∩ {X tn ∈ B n } ] =: P [ X t1 ∈ B 1 , . . . , X tn ∈ B n
]
.
Die Familie (P J ) J⊂⊂I = (X J (P)) J⊂⊂I ist die Familie der endlich-dimensionalen Rand- oder
Marginalverteilungen des Prozesses (X t ) t∈I . Offenbar ist diese durch die gemeinsame Verteilung
P I = X I (P) bestimmt, da
P J = X J (P) = (π J ◦ X I )(P) = π J (P I ).
Also ist (P J ) J⊂⊂I eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen über (E, B). Wie
der nächste Satz lehrt, existiert für diese projektive Familie ihr projektiver Limes, der die
gemeinsame Verteilung P I ist.
17.3 Satz
Sei (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) ein stochastischer Prozess. Die endlich-dimensionalen Randverteilungen
von (X t ) t∈I bilden eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen über (E I , B I ) und
die gemeinsame Verteilung des Prozesses ist ihr projektiver Limes.
Beweis: Siehe 10.4.
17.4 Definition
1. Zwei Prozesse (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und (Ω ′ , A ′ , P ′ , (Y t ) t∈I , E, B) mit gleicher Indexmenge I
und gleichem Zustandsraum (E, B), aber eventuell verschiedenem Grundräumen heißen äquivalent
oder Versionen, wenn gilt:
X J (P) = Y J (P ′ )
(J ⊂⊂ I).
2. Sind (Ω, A, P, (X t ) t∈I , E, B) und (Ω, A, P, (Y t ) t∈I , E, B) außerdem auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
definiert und gilt
P[X t = Y t ] = 1
(t ∈ I),
und (Y t ) t∈I äquiva-
so heißt (Y t ) t∈I eine Modifikation von (X t ) t∈I . Insbesondere sind (X t ) t∈I
lent.