Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

182 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
so heißt der Poisson’sche Prozess normal oder standardisiert.
Beispiel für einen typischen Pfad eines normalen Poisson-Prozesses:
t ↦→ X t (ω)
. .
•
.
•
.
• .
•
.
•
.
• .
•
.
• .
•
.
t
.
..
2. Definiere die Menge aller iosotonen, rechtsseitig stetigen Pfaden mit Sprüngen der Größe 1 als
D(R + , Z) := {ω : R + → Z : ω isoton, rechtsseitig stetig mit Sprüngen der Größe 1}.
21.2 Bemerkungen
1. Je zwei Poisson-Prozesse mit derselben Startwahrscheinlichkeit sind äquivalent, siehe 19.5.2.
2. Ist (Y t ) t≥0 ein Prozess mit der Pfadeigenschaft 21.1.2, der zu einem Poisson-Prozess äquivalent
ist, so ist (Y t ) t≥0 selbst ein Poisson-Prozess, siehe 19.5.1.
21.3 Hauptsatz
Sei α > 0 und µ ∈ M 1 +(Z). Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P µ auf
(D(R + , Z), D(R + , Z) ∩ P(Z R+ )),
so dass der D(R + , Z)-kanonische Prozess ein Poisson-Prozess zum Parameter α mit Startverteilung
µ ist.
Die Verteilung P µ ist die Einschränkung des äußeren Markoff-Maßes auf D(R + , Z) zur Startwahrscheinlichkeit
µ und zur Poisson’schen Faltungshalbgruppe (π αt ) t∈R+ .
Beweis: Zu µ und der Faltungshalbgruppe (π αt ) t∈R+ gehört der kanonische Prozess mit gemeinsamer
Verteilung P µ . Nach 19.4 besitzt der Prozess unabängige und stationäre Poisson-verteilte
Zuwächse. Außerdem gilt VertX 0 = µ.
Damit ist die Aussage bewiesen, wenn zu diesem kanonischen Prozess ein äquivalenter Prozess mit
den gewünschten Pfadeigenschaften existiert.
Hierzu bezeichne
S := {k2 −n : k, n ∈ N 0 }
die Menge aller dyadischen Zahlen in R + .