Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

6. KONVERGENZSÄTZE 51
Beweis:
1. Klar.
2. Klar nach 6.4.
3. Folgt aus 1., denn
m [ lim sup
n→∞
] [ ] [
A n = m[Ω] − m C lim sup A n = m[Ω] − m lim inf CA ]
n
n→∞
n→∞
1.
≥ m[Ω] − lim inf m[CA (
n] = m[Ω] − lim inf m[Ω] − m[An ] )
n→∞ n→∞
= m[Ω] − m[Ω] − lim inf (−m[A n]) = lim sup m[A n ].
n→∞
n→∞
✷
6.7 Lemma (Borel-Cantelli)
Sei (A n ) n∈N ∈ A N . Es gilt
∞∑
n=1
m[A n ] < ∞ ⇔ m [ ]
lim sup A n = 0.
n→∞
Beweis: Es gilt für n ∈ N
m [ lim sup
n→∞
∫
] ∗
A n = 1 lim sup A n
dm =
n→∞
≤ ∑ k≥n
∫ ∗
1 Ak dm = ∑ k≥n
∫ ∗
1 ∞
⋂
n=1 k≥n
m[A k ].
⋃ dm ≤
A k
∫ ∗
1 ⋃ dm ≤
A k
k≥n
∫ ∗ ∑
1 Ak dm
k≥n
Daraus folgt für n → ∞ die Behauptung.
✷
6.8 Hauptsatz (majorisierten Konvergenz, H. Lebesgue)
Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N eine fast überall gegen ein Funktion f konvergent
Folge und g ∈ L p (m) eine Betragsmajorante, d.h |f n | ≤ g fast überall (n ∈ N).
Dann ist f ∈ L p (m) und (f n ) n∈N konvergiert gegen f im p-ten Mittel.
Beweis: Es gibt eine Nullmenge N, so dass f n → f punktweise auf CN, |f n | ≤ g auf CN und
g(CN) ⊆ R + . Da N eine Nullmenge ist, sei Œ N = ∅.
Sei nun f, f n (n ∈ N) reellwertig und |g| p ∈ L 1 (m). Wegen |f| p ≤ |g| p ∈ L 1 (m) und dem Majorantenkriterium
∫ (4.11) ist f ∈ L p (m). ∫ Sei g n := |f − f n | p ∈ L 1 (m).
Beh: lim g n dm = 0, d.h. lim sup gdm = 0.
n→∞
n→∞
Denn: Es gilt lim g n = 0 punktweise und
n→∞
g n ≤ (|f| + |f n |) p ≤ (|f| + g) p ∈ L 1 (m).
Also hat die Folge (g n ) n∈N eine gemeinsame, integrierbare Majorante und mit 6.4 gilt
∫
∫
∫
0 ≤ lim sup g n dm = − lim inf −g n dm ≤ − lim inf (−g n)dm = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
✷