Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

156 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
1. Œ kann I = [0; 1] angenommen werden. Dann nämlich gilt die Behauptung für jedes kompakte
Intervall. Sei [a n ; b n ] ↑ I und (Y (n)
t ) t∈[an;b n] eine lokal Hölder-stetige Modifikation von
(X t ) t∈[an;b n]. Dann gibt es eine Nullmenge Ω n ∈ A mit
Definiere die Nullmenge Ω 0 :=
Damit ist
da t ↦→ Y (n)
t
Y (n)
t (ω) = X t (ω) (ω /∈ Ω n , t ∈ [a n ; b n ] ∩ Q).
∞⋃
Ω n . Dann ist für m ≥ n
n=1
Y (n)
t (ω) = X t (ω) = Y (m)
t (ω) (ω /∈ Ω 0 , t ∈ [a n , b n ] ∩ Q).
Y (n)
t (ω) = Y (m)
t (ω) (ω /∈ Ω 0 , t ∈ [a n ; b n ]),
(ω) bzw. t ↦→ Y (m)
t (ω) stetig ist. Damit sind die Zufallsvariablen
Y t : ω ↦→
{
Y (n)
t (ω), ω /∈ Ω 0 , t ∈ [a n , b n ]
0, ω ∈ Ω 0 , t ∈ I
wohldefiniert. (Y t ) t∈I ist ein Prozess mit stetigen Pfaden, sogar lokal Hölder-stetig wie angegeben
Offenbar ist (Y t ) t∈I eine Modifikation von (X t ) t∈I .
2. Sei also I = [0; 1]. Wir zeigen schärfer, dass es in diesem Fall ɛ = ɛ(s, ω) unabhängig von s
gewählt werden kann. Für n ∈ N sei
D n = {k · 2 −n : 0 ≤ k < 2 n , k ∈ N}, D :=
die Menge aller dyadischen Zahlen in I. Aus der Tschebyscheff-Markoff’schen Ungleichung folgt
für s, t ∈ I und alle Komponenten i = 1, . . . , d
P[|π i ◦ X t − π i ◦ X s | ≥ ɛ] ≤ P[||X t − X s || ≥ ɛ] ≤ ɛ −α E[||X t − X s || α ] (∗)
≤ cɛ −α ||t − s|| 1−β .
Insbesondere konvergiert π i ◦ X s → π i ◦ X t stochastisch für s → t. Für 0 < γ < β α , n ∈ N und
1 ≤ k ≤ 2 n gilt
P[||X k2 −n − X (k−1)2 −n|| ≥ 2 −γn ] ≤ P[ max
} {{ }
||X 1≤k≤2 n k2 −n − X (k−1)2−n|| ≥ 2−γn
} {{ }
=:B nk
[ 2
n
⋃
= P
k=1
B nk
]
≤
= c2 −n(β−αγ) .
2 n ∑
k=1
∞⋃
n=1
D n
=:A n
]
P[B nk ] ≤ 2 n c2 γnα 2 −n(1−β)
Diese Reihe ist summierbar, für Ω 1 := C lim sup n→∞ A n gilt also P[Ω 1 ] = 1 nach 12.9. Also
gibt es für ω ∈ Ω ein n 1 (ω) ∈ N, so dass für n ≥ n 1 (ω)
max ||X
1≤k≤2 n k2 −n(ω) − X (k−1)2−n(ω)|| < 2−γn
(∗∗)
3. Sei nun ω ∈ Ω 1 , n ∈ N mit n ≥ n q (ω). Wir zeigen durch Induktion nach m:
m∑
∀m ≥ n ∀s, t ∈ D m mit 0 < t − s < 2 −n gilt ||X t (ω) − X s (ω)|| ≤ 2 2 −γj (∗ ∗ ∗)
j=n+1