Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

188 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
Dann ist
∫
B
(Y 1 − Y 2 )dP = 0 (B ∈ B).
Da {Y 1 − Y 2 > 0} ∈ L(B), ist {Y 1 > Y 2 } eine P-Nullmenge. Entsprechend ist {Y 2 > Y 1 } eine
P-Nullmenge. Damit ist Y 1 = Y 2 P-fast sicher.
Isotonie: Sei X ≥ 0. Definiere B := {X B < 0} ∈ B und es gilt
∫
∫
0 ≥ X B dP = XdP ≥ 0.
Damit ist B eine P-Nullmenge.
22.6 Bezeichnungen und Bemerkung
1. Die Zufallsvariable
B
B
X B =: E B [X] =: E[X|B]
heißt Version der bedingten Erwartung von X unter der Hypothese B, oder kürzer bedingte
Erwartung von X unter B.
Ist speziell Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ), so definiert man die bedingte Erwartung bzgl. der Zufallsvariablen
Y durch
E[X|Y ] := E[X|σ(Y )].
Sei allgemeiner (Y i ) i∈I eine Familie von Zufallsvariablen mit Y i : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) (i ∈ I), so
definiert man die bedingte Erwartung bzgl. der Familie von Zufallsvariablen (Y i ) i∈I durch
E[X|Y i ; i ∈ I] := E [ X| ⊗ i∈I
Y i
]
.
✷
2. Die bedingte Erwartung bzgl. einer Zufallsvariablen und einer Unter-σ-Algebra sind äquivalente
Begriffe, was aus
{
(Ω, A) → (Ω, B)
Y :
y ↦→ y
folgt.
3. Sei X ∈ L 2 (A). Dann ist X B ∈ L 2 (A) und B-messbar. Hier ist X B nach 22.4 gekennzeichnet als
L 2 (B)-Funktion, die die quadratischen Fehler minimiert. Außerdem ist X B fast sicher eindeutig
bestimmt.
22.7 Beispiele
1. Sei B = A und X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann ist nach Definition X B ∈ L 1 (Ω, A, P) und B-messbar
mit
∫
∫
X B dP = XdP.
B
Also X B = X fast sicher. Hier stellt die σ-Algebra B bereits die gesamte Information bereit,
so dass A keine weitere Information bereithält.
2. Sei B = {∅, Ω} und X ∈ L 1 (Ω, A, P). Dann ist
X B = E[X] P-fast sicher.
Somit enthält B keine Information über das genauere Aussehen der Zufallsvariable X.