Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

54 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
6.14 Satz (Tschebycheff-Markoff’sche Ungleichung)
Sei f ∈ L 0 (Ω, A), ɛ > 0 und p ∈ R ∗ +. Dann gilt
m[|f| ≥ ɛ] ≤ 1
ɛ p ∫
|f| p dm.
Beweis: Definiere A ɛ := {|f| ≥ ɛ} ∈ A. Dann gilt ɛ p 1 Aɛ ≤ |f| p und damit
∫
m[A ɛ ] ≤ 1
ɛ
|f| p dm.
p
✷
6.15 Definition
Eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N konvergiert stochastisch gegen f ∈ L 0 (Ω, A), wenn
Dann schreibt man f = m − lim
n→∞ f n.
6.16 Lemma
Sei (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N .
1. Für f, g ∈ L 0 (Ω, A) gilt
f = m − lim
n→∞ f n
lim m{|f − f n| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0).
n→∞
∧ g = m − lim
n→∞ f n ⇐⇒ g = f fast sicher,
d.h. ein stochastischer limes ist fast sicher eindeutig bestimmt.
2. Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Konvergiert (f n ) n∈N im p-ten Mittel gegen f ∈ L p (m), so konvergiert (f n ) n∈N
stochastisch gegen f.
Beweis:
1. “ ⇐ ”: Klar, denn {|f − f n ≥ ɛ} und {|g − f n | ≥ ɛ} unterscheiden sich nur durch Nullmengen.
“ ⇒ ”: Es gilt
∞⋃
∞
{f ≠ g} = {|f − g| ≥ 1 k } ⊆ ⋃
k=1
k=1 n=1
∞⋂
{|f − f n | ≥ 1
2k } ∪ {|f n − g| ≥ 1
2k },
also
2. Nach 6.14 ist
m[f ≠ g] ≤
≤
∞∑ [ ⋂
]
m {|f − f n | ≥ 1
2k } ∪ {|g − f n| ≥ 1
2k
k=1
n∈N
∞∑ [ ⋂
] [
m {|f − f n | ≥ 1
2k } ⋂
]
+ m {|g − f n | ≥ 1
2k } = 0.
k=1
n∈N
n∈N
lim m[|f − f 1
n| ≥ ɛ ≤ lim
n→∞ n→∞ ɛ
(N p p (f − f n )) p = 0.
✷