Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

27. MARKOFF-PROZESSE 229
“⇐”: Es ist zu zeigen:
Für s < t und jede Version Y von P[X t ∈ B|X s ] und A ∈ Fs ∗ gilt
∫ ∫
Y dP = 1 {Xt∈B}dP = P[A ∩ {X t ∈ B}].
A
A
Nach Voraussetzung gilt dies für s 1 < . . . < s n = s und A ∈ σ(X s1 , . . . , X sn ). Da diese
σ-Algebra ein ∩-stabiler Erzeuger der σ-Algebra Fs ∗ ist die beiden Abbildungen
∫
A ↦→ P[A ∩ {X t ∈ B}], A ↦→ Y dP
endliche Maße auf F s sind folgt die Behauptung aus dem Eindeutigkeitssatz der Maßtheorie
7.19.
27.5 Hauptsatz
Ist (E, B) ein polnischer Zustandsraum und ist die gemeinsame Verteilung von (X t ) t∈I das
Markoff-Maß P µ aus einer normalen Markoff’schen Schar (P s,t ) s,t∈I und Startwahrscheinlichkeit
µ aus E, dann ist (X t ) t∈I bzgl. der kanonischen Filtration ein Markoff-Prozess und es gilt
s≤t
fast sicher für x ∈ E, B ∈ B = B(E) und s ≤ t
P[X t ∈ B|X s = x] = P s,t [x, B],
P[X t ∈ B|F ∗ s ] = P[X t ∈ B|X s ] = P s,t [X s , B].
A
✷
Beweis: Gemäß 22.30 gilt
P[X t ∈ B|X s = x] = P s,t [x, B].
Zu zeigen bleibt nach 27.4 für (s 0 < s 1 < . . . < s n = s < t =: s n+1 )
P[X t ∈ B|X s0 , . . . , X sn ] = P s,t [X s , B] = P s,t [., B] ◦ X s = P s,t [., B] ◦ π J s ◦ X J fast sicher
mit J = {s 0 , . . . , s n } und Πs 0 = 0. Ansonsten folgt die Behauptung durch Bildung der bedingten
Erwartung E[.|X s1 , . . . , X sn ] auf beiden Seiten.
Dies ist äquivalent zum Nachweis, dass der Kern
K s,t := P s,t [π J s , .] : E J × B → [0; 1]
eine faktorisierte bedingte Verteilung von X t unter der Hypothese X J = (X s0 , . . . , X sn ) ist, also
nach 22.29 P (XJ ,X t) = P XJ ⊗ K s,t gilt. Mit s n+1 := t genügt dafür der Nachweis von
denn dann ist nach 18.10
⊗
P si−1 ,s i
= ( µ
n+1
µ
i=1
n⊗ )
P si−1 ,s i ⊗Ks,t
i=1
n+1
P (XJ ,X t) = P (Xsi ) i=0,...,n+1
= P = µ ⊗
π{s0 ,...,s n+1 }
18.10
= P µ π J
⊗K s,t = P XJ ⊗ K s,t .
i=1
P si−1 ,s i
= ( µ
n⊗
i=1
P si−1 ,s i
} {{ }
∈M 1 + (E J ,B J )
)
⊗Ks,t