Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

34 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
3. Es gilt
∫ ∫
fdm +
∗
4.10 Korollar
Es gilt
bzw.
∗
∫
∫
∫
∫
gdm 4.7.5
≤ inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤ (f + g)dm 4.7.1 ∗
≤ (f + g)dm
∗
∗
∗
∫
4.7.5 ∗ ∫ ∗ ∫ ∗ ∫ ∗
≤ inf(f, g)dm + sup(f, g)dm ≤ fdm + gdm
∫ ∫
= fdm + gdm.
∗
∗
f ∈ L(m) ⇐⇒ f + ∈ L(m) ∧ f − ∈ L(m)
f ∈ L 1 (Ω, A, m) ⇐⇒ f + ∈ L 1 (Ω, A, m) ∧ f − ∈ L 1 (Ω, A, m).
✷
Dann ist auch |f| ∈ L(m) bzw. ∈ L 1 (Ω, A, m) und es gilt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
fdm = f + dm − f − dm = f + dm + f − dm
und
∫
∣
∫
fdm∣ ≤
|f|dm.
Beweis: ∫ Die ∫ Behauptung ∫ folgt aus 4.9 wegen f = f + − f − = f + + f − und |f| = f + + f − und ±
fdm = ±fdm ≤ |f|dm. Damit gilt
∫
∫
∣ fdm∣ ≤ |f|dm.
✷
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Für den Rest von 4. sei (Ω, A, m) ein Maßraum.
4.11 Majorantenkriterium
Für jede messbare Funktion f sind äquivalent:
1. f integrierbar,
2. |f| besitzt eine integrierbare Majorante g ≥ |f|,
3.
∫ ∗
|f|dm < ∞.
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Folgt nach 4.9.
“2. ⇒ 3.”: Klar, da
∫ ∗ ∫ ∗
|f|dm ≤ gdm < ∞.