Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

7. FORTSETZUNG VON INHALTEN ZU MASSEN 63
Beweis: Klar ist ∅ ∈ H. Da
( n∏
i=1
) ( n∏ ) ∏
A i ∩ B i = n A i ∩ B i ,
i=1 i=1
∏
ist H ∩-stabil. Seien A := n ∏
A i , B := n B i ∈ H mit A ⊆ B. Dann ist A i ⊆ B i (i = 1 . . . , n)
und wegen
ist
CA = C n ∏
i=1
i=1
B \ A = B ∩ CA =
i=1
A i = ⋃ n
i=1 CA i × n ∏
n⋃
i=1
j=1
j=1
j≠i
A j
n∏
∏
B j ∩ CA i × n
j=1
j≠i
A j = ⋃ n
i=1 B i \ A i × n ∏
j=1
j≠i
A j ∩ B j
als endlche Vereinigung von Mengen aus H darstellbar.
✷
4. Wegen 3. ist
{ n∏
}
H = (a i ; b i ] : a i , b i ∈ R
ein Halbring in R n , da {(a; b] : a, b ∈ R} ein Halbring in R ist.
7.4 Satz
Sei H ein Halbring und µ ein Inhalt auf H.
1. Dann ist
der von H erzeugte Ring.
2. Die Abbildung
i=1
{ n
}
⋃
R = A i : A i ∈ H paarweise fremd, n ∈ N
i=1
⎧
⎪⎨ R → [0; ∞]
m :
n⊎
n∑
⎪⎩ A i ↦→ µ[A i ]
i=1
i=1
ist die einzige Fortsetzung von µ zu einem Inhalt auf R.
3. Ist µ ein Prämaß, so auch m.