Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

106 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
11.7 Definition
Ein Maß m ′ auf A heißt absolut stetig bzgl. m, falls
m[N] = 0 ⇒ m ′ [N] = 0 (N ∈ A).
Dafür schreibt man m ′ 0 m ′ [A] ≤ ɛ, d.h. m ′ [A] = 0.
“⇒”: Angenommen, es gibt ein ɛ > 0 so dass es für jedes n ∈ N ein A n ∈ A gibt mit m[A n ] ≤ 1
2
, n
aber m ′ [A n ] > ɛ. Dann ist für
A :=
∞⋂
⋃
n=1 k≥n
A k = lim sup A n
n→∞
nach dem Borel-Cantelli-Lemma 6.7 m[A] = 0, aber mit 6.6.3 ist, da m ′ endlich ist,
Das ist aber ein Widerspruch.
11.9 Beispiele und Bemerkungen
m ′ [A] ≥ lim sup m[A n ] ≥ ɛ.
n→∞
1. Die Dirac’sche δ-Funktion ist definiert durch δ 0 = ∞ · 1 {0} .
Manchmal verwendet man die Formel δ 0 · λ = ɛ 0 , d.h.
∫
δ 0 fdλ = f(0) (f ∈ L 0 +(Ω, A)).
Diese Formel ist jedoch falsch, da δ 0 · f = 0 λ-fast überall.
2. Sei g ∈ L + 0 (Ω, A). Dann ist g · m