Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

6. KONVERGENZSÄTZE 55
6.17 Lemma
Seien (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N , f ∈ L 0 (Ω, A). Dann gilt
[
f n → f fast sicher ⇐⇒ lim m ⋃
∞ ]
{|f n+k − f| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0).
n→∞
k=1
Beweis: Es gilt
Also ist
C{f = lim f n} = ⋃ ∞⋂
n→∞
ɛ>0
[ ⋂
∞
f n → f fast sicher ⇐⇒ m
Da m stetig von oben ist, ist weiter
n=1 k=1
∞⋃
n=1 k=1
∞⋃
{|f n+k − f| ≥ ɛ}.
]
{|f n+k − f| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0)
[
f n → f fast sicher ⇐⇒ lim m ⋃ ∞ ]
{|f n+k − f| ≥ ɛ} = 0 (ɛ > 0).
n→∞
k=1
✷
6.18 Korollar
Sei (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N und f ∈ L 0 (Ω, A). Dann gilt
f n → f fast sicher =⇒ f n → f stochastisch.
Beweis: Für ɛ > 0 und n ∈ N gilt
∞⋃
{|f n+1 − f| ≥ ɛ} ⊆ {|f n+k − f| ≥ ɛ}.
k=1
Damit folgt nach 6.17 die Behauptung.
✷
6.19 Satz
Eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 (Ω, A)) N konvergiert genau dann stochastisch gegen ein f ∈ L 0 (Ω, A),
wenn jede Teilfolge von (f n ) n∈N eine fast sicher gegen f konvergente Teilfolge besitzt.
Beweis:
“⇒”: Da (f n ) n∈N stochastisch konvergiert, gibt es f := m − lim
n→∞ f n. Dann ist f auch stochastischer
Limes jeder Teilfolge. Es genügt daher zu zeigen, daß (f n ) n∈N eine fast sicher
gegen f konvergente Teilfolge hat.
Nun gibt es zu j ∈ N ein n(j) ∈ N mit
m [ |f n − f| ≥ 1 2 j ]
≤
1
2 j (n ≥ n(j)).
Dabei ist Œ n(j) > n(j − 1) (j ∈ N). Zu ɛ > 0 gibt es außerdem ein N(ɛ) ∈ N mit
1
2 j ≤ ɛ (j ≥ N(ɛ)).