Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

208 KAPITEL 6. MARTINGALTHEORIE
24.4 Satz
Sei (X t ) t∈I ein an (F t ) t∈I adaptierter Prozess mit Zustandsraum (E, B).
Für B ∈ B sei
T B : ω ↦→ inf { t ∈ I : X t (ω) ∈ B }
die Eintrittszeit in B. Es gilt:
1. Ist I = Z + , so ist T B eine Stoppzeit.
2. Ist I = R + und E ein topologischer Raum mit B = B(E), so dass t ↦→ X t (ω) rechtsseitig
stetig ist (ω ∈ Ω), so ist T B eine Optionszeit für alle offenen B ⊆ E.
3. I = R + und E ein metrischer Raum, so dass t ↦→ X t (ω) stetig ist (ω ∈ Ω), so ist T B eine
Stoppzeit für alle abgeschlossenen Mengen B ⊆ E und eine Optionszeit für B ∈ F(E) σ , d.h.
für alle Mengen, die als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen dargestellt werden
können.
Beweis:
1. Sei B ∈ B und n ∈ Z + . Dann ist
{T B ≤ n} =
n⋃
{X i ∈ B} ∈ F n .
2. Sei B offen und t ∈ R + . Dann folgt wegen der rechtsseitigen Stetigkeit
{T B < t} = ⋃ {X s ∈ B} = ⋃
{X s ∈ B} ∈ F t .
s