Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

25. MARTINGALKONVERGENZSÄTZE 211
25 Martingalkonvergenzsätze
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und I ⊆ R so, dass es eine abzählbare Teilmenge
I 0 ⊆ I gibt, die rechtsseitig dicht in I ist, d.h.
t ∈ I 0 ∩ [t, ∞)
(t ∈ I).
Beispielsweise ist I ⊆ Z, R + , R − endlich oder abzählbar.
25.1 Definition
1. Sei (X t ) t∈I ein Prozess. Gilt
t ↦→ X t (ω) ist rechtsseitig stetig
(ω ∈ Ω),
so heißt (X t ) t∈I rechtsseitig stetig.
2. Sei (X t ) t∈I ein stochastischer Prozess und p ≥ 1. Genau dann heißt (X t ) t∈I L p (Ω, A, P)-
beschränkt oder einfacher L p -beschränkt, wenn
sup E[|X p t |] < ∞.
t∈I
3. Seien f : I → R eine Funktion und a, b ∈ R, a < b. Definiere dann
U (a;b) (f) := sup { n ∈ N : ∃t 1 < . . . < t 2n in I mit f(t 2j−1 ) < a, f(t 2j ) > b (1 ≤ j ≤ n) } ,
wobei sup ∅ = 0. Dann heißt U (a;b) (f) die Anzahl der aufsteigenden Überquerungen von (a; b)
durch f.
25.2 Bemerkung
1. Ist I ⊆ Z, so sind alle stochastischen Prozesse (X t ) t∈I rechtsseitig stetig.
2. Um die Definition der Anzahl der aufsteigenden Überquerungen zu veranschaulichen, hier eine
Darstellung:
b
a
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t 1 t 2 t 3 t 4
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..
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3. Offenbar ist U (a;b) (f) = sup U (a;b) (f|J).
J⊂⊂I