Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

44 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
5.6 Hauptsatz
Sei p ∈ [1; ∞].
1. L p (m) ist ein Vektorverband,
2. N p ist eine Halbnorm auf L p (m).
Beweis: Für p = 1 und p = ∞ ist die Behauptung klar. Sei also p ∈ (1; ∞).
1. Seien Œ f, g ∈ L p +(m). Es gilt
(f + g) p ≤ 2 p (sup(f, g)) p = 2 p sup(f p , g p ) ≤ 2 p (f p + g p ) ∈ L 1 (m).
Damit ist f + g ∈ L p (m) und sup(f, g) ∈ L 1 (m). Wegen N p (αf) = |α|N p (f) für α ∈ R ist
L p (m) ein Vektorverband.
2. Zu zeigen ist nur die Dreiecksungleichung:
Beh: N p (f + g) ≤ N p (f) + N p (g) (f, g ∈ L p (m)).
Sei q =
p
p−1 , so dass 1 p + 1 q
= 1. Es gilt
∫
∫
(N p (f + g)) p = (f + g) p dm = (f + g)(f + g) p−1 dm
∫
= f(f + g) 1−p + g(f + g) 1−p dm
und damit
= N 1 (f(f + g) p−1 ) + N 1 (g(f + g) p−1 )
5.4
≤ N p (f)N q ((f + g) p−1 ) + N p (g)N q ((f + g) p−1 )
= N p (f) + N p (g))(N p (f + g)) p−1
N p (f + g) ≤ N p (f) + N p (g).
✷
5.7 Korollar
Es gilt
f ∈ L p (m) ⇐⇒ f + , f − ∈ L p (m) ⇒ |f| ∈ L p (m).
Beweis: Folgt aus 4.10.
✷
5.8 Korollar
∫
Auf L 2 (m) wird durch 〈f, g〉 := fgdm ein Pseudoskalarprodukt (d.h. linear in jeder Komponente,
kommutativ, distributiv, aber nicht definit, d.h 〈f, f〉 = 0 ⇏ f = 0) definiert und es gilt
die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung
( ∫ ) 2
∫ ∫
〈f, g〉 2 = fgdm ≤ f 2 dm · g 2 dm = 〈f, f〉 · 〈g, g〉.
Beweis: Verwende 5.4 mit p = q = 2.
✷