Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

52 KAPITEL 1. MASSE UND INTEGRALE
6.9 Satz
Konvergiert eine Folge (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N gegen ein f ∈ L p (m) im p-ten Mittel, so gilt
N p (f) = lim
n→∞ N p(f n ).
Insbesondere gilt für p = 1
∫
∫
fdm = lim
n→∞
f n dm.
Beweis: Nach der umgedrehten Dreiecksungleichung ist
|N p (f) − N p (f n )| ≤ N p (f − f n ) → 0.
Für p = 1 gilt
∫
∣
∫
fdm −
∫
f n dm∣ ≤
|f − f n |dm = N 1 (f − f n ) → 0.
✷
6.10 Lemma
Sei 1 ≤ p < ∞, (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N und
∞∑
N p (f n+1 − f n ) < ∞.
n=1
Dann konvergiert (f n ) n∈N fast überall und im p-ten Mittel gegen ein f ∈ L p (m).
∞∑
Beweis: Sei g n := f n+1 − f n ∈ L p (m) und g := |g n |. Dann ist
n=1
∞∑
∞∑
N p (g) = N p (g n ) = N p (f n+1 − f n ) < ∞,
n=1
n=1
also g ∈ L p (m), d.h. g p ∈ L 1 (m). Insbesondere ist g fast überall endlich und die Reihe
konvergiert fast überall absolut.
Da f n+1 = f 1 + g 1 + . . . g n , konvergiert die Folge (f n ) n∈N fast überall mit
∞∑
n=1
g n
|f n+1 | ≤ |f 1 | + g ∈ L p (m) (n ∈ N).
Nach 6.8 gibt es ein f ∈ L p (m), wobei f n → f fast überall und im p-ten Mittel.
✷
6.11 Hauptsatz (Riesz-Fischer)
Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann ist L p (m) vollständig bzgl N p , d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert im
p-ten Mittel.
Beweis:
“1 ≤ p < ∞”: Sei (f n ) n∈N ∈ (L p (m)) N eine Cauchy-Folge. Nach Definition einer Cauchy-Folge gilt
∀k ∈ N ∃n(k) ∈ N, n(k) > n(k − 1) : N p (f i − f j ) ≤ 1
2 k (i, j ≥ n(k)).