Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

64 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
Beweis:
1. Beh.: R ist ein Ring
Denn: Es ist klar, dass ∅ ∈ R. Außerdem ist R ∩-stabil und für A i ∈ H (i 1 . . . , i n ) und
B j ∈ H (j = 1, . . . , m) jeweils paarweise fremd ist
( n ⊎
i=1
) ( ⊎
m
A i \
j=1
) ( ⊎
n
B j =
=
i=1
n⊎
i=1 j=1
) ( ⋂
m
A i ∩
j=1
CB j
)
=
n⊎
i=1
m⋂
A i \ (B j ∩ A i ) ∈ R.
} {{ }
∈R
( ( ⋂
m
A i ∩
j=1
CB j
))
=
n⊎
i=1 j=1
m⋂
A i \ B j
Darüberhinaus ist R noch ∪-stabil, denn für A i ∈ H (i 1 . . . , n) und B j ∈ H (j = 1, . . . , m)
jeweils paarweise fremd ist
n⊎ m⊎ ( ⊎ n m⊎
A i ∪ B j = A i ∩
i=1
j=1
i=1
j=1
) ( ⊎ n
B j ⊎
i=1
A i \
m⊎
j=1
) ( ⊎ m
B j ⊎
i=1
j=1
B j \
n⊎ )
A i ∈ R.
2. Beh.: m ist die einzige Fortsetzung von µ auf R.
n⊎ m⊎
Denn: Es ist nur zu zeigen, dass m wohldefiniert ist, d.h. für A i = B j ist auch
m∑
µ[B j ]. Aber wegen
j=1
A i =
und da µ ein Inhalt auf H ist, gilt
µ[A i ] =
m⊎
(A i ∩ B j ), B j =
j=1
n⊎
(B j ∩ A i )
i=1
m∑
µ[A i ∩ B j ], µ[B j ] =
j=1
j=1
n∑
µ[A i ∩ B j ]
i=1
i=1
n∑
µ[A i ] =
i=1
und damit
n∑
n∑ m∑
m∑ n∑
m∑
µ[A i ] = µ[A i ∩ B j ] = µ[A i ∩ B j ] = µ[B j ].
i=1
i=1 j=1
j=1 i=1
j=1
3. Beh.: Ist µ ein Prämaß, so auch m.
Denn: Sei dazu C n ∈ R (n ∈ N), so daß C :=
T n (n ∈ N) und Mengen A n ∈ H (n ∈ N) mit
C n = ⊎
j∈T n
A nj ,
∞⊎
C n ∈ R. Dann gibt es endliche Indexmengen
n=1
C = ⊎ n∈N
Da A ∈ R, gibt es eine endliche Indexmenge K und Mengen B k ∈ H (k ∈ K) mit
A = ⊎
B k .
k∈K
A n .
Damit ist
∞⊎
∞⊎
B k = (A n ∩ B k ) =
n=1
n=1
⊎
j∈T n
A nj ∩ B k ,