Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

18. MARKOFF’SCHE SCHAREN UND HALBGRUPPEN 159
Wegen der Eindeutigkeitsaussage in 18.1 ist für f ∈ L 0 +(E, B):
∫
∫
K 1 K 2 (f)(x) = (K 1 ◦ K 2 )(f)(x) = K 1 [x 1 , dx 1 ]
K 2 [x 1 , dx 2 ]f(x 2 ).
Insbesondere gilt für Wahrscheinlichkeitsmaße µ
µK 2 f 9.17
= µ ⊗ K 2 (f ◦ π 2 ) = π 2 (µ ⊗ K 2 )(f),
d.h. µK 2 ist das Wahrscheinlichkeitsmaß π 2 (µ ⊗ K 2 ), insbesondere ist
ɛ x K 2 [B] = K 2 [x, B], d.h. ɛ x K 2 = K 2 [x, .]
(x ∈ E).
Die Menge der Markoff-Kerne auf (E, B) bildet also (wegen der Assoziativität der Komposition)
eine Halbgruppe bzgl. obiger Multiplikation mit neutralem Element oder Einheitskern
1 : (x, B) ↦−→ 1 B (x) = ɛ x (B).
18.3 Definition
1. Eine Markoff’sche Übergangsschar oder Markoff’sche Schar ist eine Familie (P s,t ) s,t∈I
s≤t
Markoff-Kernen auf
(E, B), die den Chapman-Kolmogoroff-Gleichungen
von
P s,t = P s,r P r,t (s, t, r ∈ I, s ≤ r ≤ t)
genügen. Sie heißt
1. normal, falls P s,t = 1 (t ∈ I),
2. stationär oder zeitlich homogen, falls
P s,t [x, B] = P 0,t−s [x, B],
3. translationsinvariant oder räumlich homogen, falls (E, B) = (R d , B(R d )) und
P s,t [x, B] = P s,t [0, B − x] (s ≤ t, x ∈ R d , B ∈ B(R d )).
2. Eine Markoff’sche Halbgruppe ist eine Familie (P t ) t∈I von Markoff-Kernen auf (E, B) mit
P s P t = P s+t
(s, t ∈ I).
3. Eine Faltungshalbgruppe ist eine Familie (µ t ) t∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (E, B) mit
µ s ∗ µ t = µ s+t (s, t ∈ I).
18.4 Satz
Eine Markoff’sche Schar (P s,t ) s,t∈I
s≤t
ist genau dann stationär, wenn durch
P t := P 0,t (t ∈ I)
eine Markoff’sche Halbgruppe (P t ) t∈I definiert ist. Umgekehrt definiert jede Markoff’sche Halbgruppe
(P t ) t∈I durch
P s,t := P t−s (s ≤ t)
eine stationäre Markoff’sche Schar.
Beweis: