Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

11. MASSE MIT DICHTEN 105
2. Für die d-dimensionale Standardnormalverteilung definiert man
und dadurch
[
g d (x 1 , . . . , x d ) := √ 1
2π
exp − 1 2
N d :=
d⊗
N 0,1 = g d λ d .
1
Nichtausgeartete Normalverteilung oder Gauß-Maß heißt jedes Bildmaß (Y (N d )) unter einer
nichtausgearteten affinene Transformation
11.5 Satz
Seien g 1 , g 2 ∈ L + 0 (Ω, A).
d∑
1=1
Y : x ↦→ Ax + b mit ( A ∈ GL(R 2 × R 2 ), b ∈ R 2) .
1. Ist g 1 = g 2 m-fast überall so ist g 1 · m = g 2 · m.
2. Ist g 1 oder g 2 integrierbar (d.h. g 1 · m bzw. g 2 · m ist ein endliches Maß) und ist
g 1 · m = g 2 · m, so ist g 1 = g 2 fast überall.
Beweis:
1. Ist g 1 = g 2 m-fast überall und A ∈ A, so ist g 1 1 A = g 2 1 A m-fast überall und damit
∫ ∫
g 1 · m[A] = g 1 dm = g 2 dm = g 2 · m[A].
2. Sei Œ g 1 ∈ L 1 (m) Dann ist
∫
Ω
A
∫
g 2 dm =
Ω
A
g 1 dm < ∞,
also g 2 ∈ L 1 (m). Sei N := {g 1 < g 2 } ∈ A und h := g 1 1 N − g 2 1 N . Dann ist N = {h > 0} und
∫ ∫ ∫
hdm = g 1 dm − g 2 dm = (g 1 m)[N] − (g 2 m)[N] = 0,
N
N
also h = 0 m-fast überall und m[N] = 0. Damit ist auch g 1 ≤ g 2 m-fast überall. Durch
Vertauschen von g 1 und g 2 erhält man nun g 1 = g 2 m-fast überall.
x 2 i
]
✷
11.6 Bemerkung
Ohne die Voraussetzung, dass g 1 oder g 2 integrierbar ist, ist 2. falsch. Sei dazu Ω überabzählbar
und
A = {A : A abzählbar oder CA abzählbar}.
Definiere
m : A ↦→
{
0, A abzählbar
∞, CA abzählbar
Damit ist 1m = 2m, aber nicht 1 = 2 m-fast überall.