Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

86 KAPITEL 2. KONSTRUKTION VON MASSEN
ein ∩-stabiler Erzeuger von A 1 ⊗ A 2 mit E ⊆ D und es gilt
K[ω 1 , (A 1 × A 2 )(ω 1 , Ω 2 )] = 1 A1 (ω 1 )K[ω 1 , A 2 ]
und damit
d.h. D = A 1 ⊗ A 2 .
A 1 ⊗ A 2 = σ(E) = δ(E) ⊆ D ⊆ A 1 ⊗ A 2 ,
2. Für allgemeine σ-endliche Übergangskerne gibt es eine Folge (B n ) n∈N ∈ A N 2 mit B n ↑ Ω 2 und
sup
ω 1∈Ω 1
K[ω 1 , B n ] < ∞ (n ∈ N). Definiere nun die Kerne
K n : (ω 1 , A 2 ) ↦→ K[ω 1 , A 2 ∩ B n ]
(n ∈ N).
Für diese Kern ist
K n [ω 1 , Ω 2 ] = K[ω 1 , B n ] < ∞.
Sei ω 1 ∈ Ω 1 . Nach 1. und wegen der Stetgkeit von K[ω 1 , .] von unten ist für A ∈ A 1 ⊗ A 2
A 1 -messbar.
ω 1 ↦→ K[ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )] = sup K n [ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )]
n∈N
3. Die Messbarkeitsbehauptung ist also richtig für Indikatorfunktionen, also auch für positive
A 1 −A 2 -Treppenfunktionen und dann schließlich für alle positiven A 1 −A 2 -messbaren Funktionen
nach Beppo Levi 6.1.
9.13 Hauptsatz (Ionescu-Tulcea)
Sei m 1 ein σ-endliches Maß auf (Ω 1 , A 1 ) und K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 )
nach (Ω 2 , A 2 ). Dann gibt es genau ein Maß m auf A 1 ⊗ A 2 mit
m[A 1 × A 2 ] =
∫
K 2 [ω 1 , A 2 ]m 1 [dω 1 ] :=
A 1
∫
K 2 [., A 2 ]dm 1
A 1
Dabei ist m σ-endlich und heißt das Produktmaß des Startmaßes m 1 mit Kern K 2 . Hierfür
schreiben wir m := m 1 ⊗ K 2 Ist m 1 ein Wahrscheinlichkeitsmaß und K 2 ein stochastischer
Kern, so ist m ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Für A ∈ A 1 ⊗ A 2 gilt die Cavalieri’sche Formel
∫
m 1 ⊗ K 2 [A] = K 2 [ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )]m 1 [dω 1 ].
✷
Beweis: Definiere m durch die Cavalierei’sche Formel. Nach 9.12 ist damit m wohldefiniert, m ≥ 0
und m[∅] = 0. Die Abbildung m ist gemäß 9.10.3 additiv und stetig von unten nach Beppo Levi
6.1, also ein Maß auf A 1 ⊗ A 2 mit
m[A 1 × A 2 ] 9.10.4
=
∫
∫
1 A1 (ω 1 )K 2 [ω 1 , A 2 ]m 1 [dω 1 ] = K 2 [., A 2 ]dm 1 .
A 1
Dabei ist m ein Wahrscheinlichkeitsmaß, falls m 1 [Ω 1 ] = 1 und K 2 ein stochastischer Kern ist.
Beh: m ist σ-endlich.
Denn: Seien (A n ) n∈N ∈ A N 1 , (B n ) n∈N ∈ (A 2 ) N mit A n ↑ Ω 1 und B n ↑ Ω 2 . Außerdem gelte
m 1 [A n ] < ∞,
sup K 2 [ω 1 , B n ] =: β n < ∞
ω 1∈Ω 1
(n ∈ N).