Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

15. GRENZWERTSÄTZE 137
Die Aquivalenz der beiden Bedingungen folgt dabei wiefolgt:
s i
“1. ⇒ 2.”: Da σ i > 0 für alle i, muss s n → ∞ gelten, da sonst lim > 0 wäre. Außerdem gilt
n→∞ σ n
σ n
lim ≤ lim
n→∞ s max σ i
n n→∞ 1≤i≤n
s n
= 0.
“2. ⇒ 1.”: Zu ɛ > 0 gibt es ein n 0 ∈ N mit σn
s n
15.7 Beispiele
max
1≤i≤n
≤ ɛ für n ≥ n 0 . Damit gibt es ein n 1 , so dass
σ i
s n
≤ ɛ (n ≥ n 1 ).
1. Beh.: Jede unabhängige Folge (X n ) n∈N identisch verteilter Zufallsgrößen genügt der Lindeberg-
Bedingung.
Denn: sei
α := E[X n ], σ := σ n und damit s 2 n = nσ 2 .
Dann ist s n ↑ ∞ und für δ > 0 gilt {y ∈ R : |y − x| ≥ δs n } ↓ ∅ Wegen
∫
|y − α| 2 P Xi [dy] = σ 2 < ∞
gilt
L n (δ) = 1 σ 2
∫
|y − x| 2 P Xn [dy] → 0
nach 6.3.
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
2. Beh.: Genügt die Familie (X n ) n∈N der Ljapunoff-Bedingung, so auch der Lindeberg-Bedingung
Denn: für δ > 0 und ɛ ∈ R und |y − α| ≥ δs n ist |y − α| 2+ɛ ≥ |y − α| 2 (δs n ) ɛ und damit
L n (δ) ≤ 1 n∑
∫
δ ɛ s 2+ɛ
|y − E[X i ]| 2+ɛ P Xi [dy]
n
≤ 1 δ 2 1
s 2+ɛ n
i=1
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
n∑
i=1
E [ |X i − E[X i ]| 2+ɛ] n→∞
−−−→ 0.
3. Beh.: Ist (X n ) n∈N gleichmäßig beschränkt mit lim s n = ∞ oder äquivalent dazu
n→∞
∞∑
Var[X n ] = ∞, so genügt (X n ) n∈N der Ljapunoff-Bedingung.
n=1
Denn: es gibt ein α > 0 mit |X n | ≤ α 2 (n ∈ N). Damit ist auch |E[X n]| ≤ α 2 und |X n − E[X n ]| ≤
α (n ∈ N) und damit für ein beliebiges ɛ > 0
1
n∑
s 2+ɛ E [ |X i − E[X i ]| 2+ɛ] n∑
≤
αɛ
n
s 2+ɛ E [ |X i − E[X i ]| 2] ( α
) ɛ
= → 0.
i=1
n
s
i=1
n
} {{ }
s 2 n
✷
✷
4. Beh.: Genügt (X n ) n∈N der Lindeberg-Bedingung, so auch der Feller-Bedingung
Denn: Für δ > 0 und 1 ≤ i ≤ n ist
∫
∫
σi 2 = |y − E[X i ]| 2 P Xi [dy] ≤ (δs n ) 2 +
|y − E[X i ]| 2 P Xi [dy]
n∑
∫
≤ (δs n ) 2 +
i=1 {y:|y−E[X i]|≥δs n}
{y:|y−E[X i]|≥δs n}
|y − E[X i ]| 2 P Xi [dy].