Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

146 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
1. Sei α > 1 und n j := [α j ] (j ∈ N) Dann ist (n j ) j∈N schließlich streng isoton und nj+1
n j
→ α für
j → ∞, also nj+1
n j
< α 3/2 für schließlich alle j. Damit gilt für schließlich alle j ∈ N, da Ψ isoton
ist
P [
max S n > α √ nΨ(n) ] ≤ P [
max S n > α √ n j Ψ(n j ) ]
n j α √ nΨ(n) ] ≤ c 1 (log α) −√ α
(j − 1) −√α = c 2 (j − 1) −√α .
n j 1 konvergiert die allgemeine harmonische Reihe
dem Borel-Cantelli-Lemma 12.9
[ ⋂
∞ ∞⋃
P[A α ] = P {S n > α √ ] [ ⋂
∞
nΨ(n)} ≤ P
m=1 n=m
2. Sei α < 1. Dann gibt es ein n ∈ N, so dass
α + 2 √ n
<
m=1 n=m
∞∑
(j − 1) −√α . Deshalb folgt mit
j=1
√
n−1
n , also α√ n + 2 < √ n − 1.
∞⋃
{ max S n > α √ ]
nΨ(n)} = 0.
n j 2 √ nΨ(n)} ] = 0.
n→∞
n→∞
P[A α ] = P [ lim sup{S n > α √ nΨ(n)} ] ≥ P [ lim sup{S n k > α √ n k Ψ(n k )} ]
n→∞
k→∞
[ [
≥ P lim sup {Zk + S n k−1 > α √ n k Ψ(n k ) ∩ {S n k−1 ≥ −2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]]
k→∞
[ [
≥ P {lim sup Zk − 2 √ n k−1 Ψ(n k−1 ) > α √ n k Ψ(n k )} ∩ {S n k−1 ≥ −2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]]
k→∞
[ [
≥ P lim sup {Zk − 2 √ n k−1 Ψ(n k−1 ) > α √ n k Ψ(n k )} ] ∩
k→∞
[
lim inf {Sn k−1 ≥ −2 √ n k−1 Ψ(n k−1 )} ]] ,
k→∞