Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

9. PRODUKTMASSE 85
4. Seien f i : Ω i → R (i = 1, 2). Definiere dann durch
{
Ω 1 × Ω 2 → R
f 1 ⊗ f 2 :
(ω 1 , ω 2 ) ↦→ f 1 (ω 1 )f 2 (ω 2 )
das Tensorprodukt von f 1 und f 2 . Für das Tensorprodukt gilt
und damit für A 1 ∈ A 1 , A 2 ∈ A 2
(f 1 ⊗ f 2 )(ω 1 , .) = f 1 (ω 1 ) · f 2
1 A1×A 2
= 1 A1 ⊗ 1 A2 und (A 1 × A 2 )(ω 1 , .) =
{
A 2 , ω 1 ∈ A 1
∅, ω 1 ∉ A 1 .
Beweis: Sei id : Ω 1 × Ω 2 → Ω 1 × Ω 2 . Damit ist id(ω 1 , .) ↦→ (ω 1 , ω 2 ) A 2 − A 1 ⊗ A 2 -messbar. Dann
aber folgen die Behauptungen aus
f(ω 1 , .) = f ◦ id(ω 1 , .), A(ω 1 , .) = id(ω 1 , .) −1 (A), 1 A (ω 1 , .) = 1 A(ω1,.)
und entsprechenden Rechnungen für die zweite Komponente. Der Rest ist trivial.
✷
9.11 Notation
Wir führen folgende Notationen ein:
A(ω 1 , Ω 2 ) := {ω 2 ∈ Ω 2 : (ω 1 , ω 2 ) ∈ A},
1 A(ω1,Ω 2) := 1 A (ω 1 , .),
∫
∫
f(ω)m[dω] := fdm.
9.12 Lemma (Messbarkeit integrierbarer Schnitte)
Sei K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach (Ω 2 , A 2 ). Dann ist für jede positive reelle
A 1 ⊗ A 2 -messbare Funktion f auf Ω 1 × Ω 2 die Abbildung
∫
∫
ω 1 ↦→ f(ω, .)dK 2 [ω 1 , .] =: f(ω 1 , ω 2 )K 2 [ω 1 , dω 2 ]
A 1 -messbar.
Beweis: Sei
D :=
{
∫
A ∈ A 1 ⊗ A 2 : ω 1 ↦→
}
1 A (ω 1 , ω 2 )K[ω 1 , dω 2 ] ist A 1 -messbar .
1. Ist K[ω 1 , Ω 2 ] < ∞ (ω 1 ∈ Ω 1 ), so ist D ein Dynkin-System, denn
∫
1 A (ω 1 , .)dK[ω 1 , .] = K[ω 1 , A(ω 1 , Ω 2 )],
woraus mit 9.10.2 folgt, dass D stabil ist unter Komplementbildung und unter endlichen disjunkten
Vereinigungen. Nun ist
E := {A 1 × A 2 : A i ∈ A i (i = 1, 2)}