Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

4. DAS INTEGRAL 27
n⊎ m⊎
Beweis: Sei wie in 3.18 ΠA i = B j und damit
i=1 j=1
m⊎
n⊎
A i = A i ∩ B j , B j = A i ∩ B j .
j=1
i=1
Damit gilt
m∑
n∑
m[A i ] = m[A i ∩ B j ], m[B j ] = m[A i ∩ B j ],
j=1
i=1
also
n∑
n∑ m∑
m∑
m∑ n∑
α i m[A i ] = α i m[A i ∩ B j ], β j m[B j ] = β j m[A i ∩ B j ].
i=1
i=1 j=1
j=1
j=1 i=1
Für A i ∩ B j ≠ ∅ ist α i = β j . Damit folgt die Behauptung.
✷
4.3 Satz
1. Die Abbildung
⎧
⎪⎨ E(Ω, R, m) → (−∞, ∞]
µ :
n∑
n∑
⎪⎩ α i 1 Ai ↦→ α i m[A i ],
i=1
i=1
n∑
wobei α i 1 Ai eine Normaldarstellung ist, ist ein isotones lineares Funktional auf der Menge
i=1
der Elementarfunktionen, d.h. für f, g ∈ E(Ω, R, m), α ∈ R + gilt:
1. f ≤ g ⇒ µ(f) ≤ µ(g), (Isotonie)
2. µ(αf) = αµ(f), (positive Homogenität)
3. µ(f + g) = µ(f) + µ(g). (Additivität)
n∑
2. Für eine beliebige Darstellung f = α i 1 Ai mit α i < 0 nur für m[A i ] < ∞, (i = 1, . . . , n) einer
Elementarfunktion f ist µ(f) =
3. Ist f ∈ E(Ω, R, m), so gilt
i=1
n∑
α i m[A i ].
i=1
µ(f) < ∞ ⇐⇒ −f ∈ E(Ω, R, m).
Dann ist µ(−f) = −µ(f).
4. Ist m endlich, so ist µ eine Linearform auf dem Vektorverband E(Ω, R, m) = T (Ω, R).