Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

22. SATZ VON RADON-NIKODYM UND BEDINGTE ERWARTUNGEN 193
6. Für ω ∈ Ω ist A ↦→ P[A|B](ω) im allgemeinen kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A, denn z.B. in
5. hat man für jede Folge eine Ausnahmenullmenge, aber im allgemeinen keine universelle. In
22.27 erhalten wir jedoch ein Resultat, wann diese Nullmenge universell gewählt werden kann.
7. Ist (B i ) i∈I ∈ A I eine höchstens abzählbare, messbare Zerlegung von Ω mit B = σ(B i : i ∈ I),
so ist für A ∈ A
P[A|B] = P[A|B i ]1 Bi .
22.18 Faktorisierungssatz
Sei
∑ i∈I
P[B i ]>0
Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) und Z : Ω → R
mit einem Messraum (Ω ′ , A ′ ). Dann ist Z genau dann σ(Y )-messbar, wenn es eine A ′ -messbare
Funktion g : Ω ′ → R gibt mit Z = g ◦ Y gibt.
Y
Ω ..
Ω ′
Z
g
. . .
.
R
Beweis:
“⇐”: Klar.
“⇒”. Sei
Z =
n∑
α i 1 Ai
i=1
mit A i ∈ σ(Y ) (i = 1, . . . , n) eine σ(Y )-Elementarfunktion. Dann gibt es A ′ i ∈ A′ mit
Aus 1 Ai = 1 {Y ∈A ′
i } = 1 A ′
i
◦ Y folgt
A i = Y −1 (A ′ i) = {Y ∈ A ′ i}.
( ∑
n )
Z = α i 1 A ′
i
◦ Y.
Durch monotone Konvergenz gilt die Aussage damit für σ(Y )-messbare Z ≥ 0.
i=1
Sei allgemein Z = Z + − Z − . Dann gibt es g 1 , g 2 ≥ 0 A ′ -messbare Zufallsvariablen mit
Z + = g 1 ◦ Y und Z − = g 2 ◦ Y und damit
Wegen
folgt
also die Behauptung.
Z = g 1 ◦ Y − g 2 ◦ Y.
{g 1 = ∞} ∩ {g 2 = ∞} ∩ Y (Ω) = ∅
} {{ }
=:A∈A ′
Z = g 1 1 CA ◦ Y − g 2 1 CA ◦ Y = ( g 1 1 CA − g 2 1 CA
)
◦ Y,
✷