Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

19. PROZESSE MIT STATIONÄREN UND UNABHÄNGIGEN ZUWÄCHSEN 167
19 Prozesse mit stationären und unabhängigen Zuwächsen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (E, B) = (R d , B(R d )) mit I ⊆ R +
t − s ∈ I (s, t ∈ I, s ≤ t).
und
19.1 Definition
Eine stochastischer Prozess (X t ) 0≤t≤T auf (Ω, A, P) mit Zustandsraum R d hat
• stationäre Zuwächse, wenn eine Familie (µ t ) t∈I von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf R d existiert
mit
P Xt−X s
= µ t−s (s, t, ∈ I, s ≤ t),
• unabhängige Zuwächse, wenn für je endlich viele Zeitpunkte 0 = t 0 < t 1 < . . . t n aus I die
Zufallsvariablen X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1 unabhängig sind.
Prozesse mit diesen beiden Eigenschaften heißen Lévy-Prozesse.
19.2 Bemerkungen
1. Im Fall stationärer Zuwächse ist µ 0 = P Xt−X t
= ɛ 0 .
2. Im Fall unabhängiger Zuwächse sind die Zufallsvariablen X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1 auch
im Falle t 0 > 0unabhängig.
Denn: Setze t −1 := 0 und beachte, dass X t0 = X t−1 + (X t0 − X t−1 ) ist. Damit ist also
σ(X t0 ) ⊆ σ(X t−1 , X t0 − X t−1 ) =: F.
Nach 12.4 sind dann F, σ(X t1 − X t0 ), . . . , σ(X tn − X tn−1 ) unabhängig. Also sind auch
unabhängig.
19.3 Lemma
σ(X t0 ), σ(X t1 − X t0 ), . . . , σ(X tn − X tn−1 ), d.h. X t0 , X t1 − X t0 , . . . , X tn − X tn−1
Sei (P s,t ) s≤t eine stationäre und translationsinvariante Markoff’sche Schar mit zugehöriger Markoff’scher
Halbgruppe (P t ) t∈I := (P 0,t ) t∈I und Faltungshalbgruppe (µ t ) t∈I = (P t [0, .]) t∈I . Dann
gilt für n ∈ N und
{
R d(n+1) −→ R d(n+1)
T n :
(y 0 , . . . , y n ) ↦−→ (y 0 , y 0 + y 1 , . . . , y 0 + y 1 + . . . + y n )
sowie für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf R d
( ⊗ n
) ⊗ n
T n µ µ ti−t i−1 = µ P ti−t i−1
(0 ≤ t 0 < t 1 < . . . t n ).
i=1
i=1
Beweis: Die Abbildung T n ist Borel-messbar, da sie ein Homöomorphismus ist, denn es gilt
T −1
n (x 0 , . . . , x n ) = (x 0 , x 1 − x 0 , . . . , x n − x n−1 ).
Für B ∈ B(R d(n+1) ) gilt nach dem Satz von Fubini 9.19
n⊗
∫ ∫
T n
(µ µ ti−t i−1
)[B] = . . . 1 B ◦ T n (y 0 , . . . , y n )µ[dy 0 ]µ t1−t 0
[dy 1 ] . . . µ tn−t n−1
[dy n ]
i=1
∫
=
∫
. . .
1 B (y 0 , y 0 + y 1 , . . . , y 0 + . . . + y n )