Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

158 KAPITEL 5. STOCHASTISCHE PROZESSE
18 Markoff’sche Scharen und Halbgruppen
Sei stets (Ω, A, P) ein Wahrschinlichkeitsraum, (E, B) ein Messraum, I ⊆ R + mit t − s ∈ I (t ≥
s), also z.B. I = R + , [0, 1], N 0 .
Erinnerung: Ein Markoff-Kern auf E, B bzw. genauer von (E, B) nach (E, B) ist eine Abbildung
{
E × B → [0; 1]
K :
(x, B) ↦→ K[x, B],
die in der ersten Variablen B-messbar und in der zweiten Variablen ein Wahrscheinlichkeitsmaß
ist (siehe 9.8).
18.1 Bemerkung
1. Jeder Markoff-Kern auf (E, B) definiert eine lineare Abbildung des Kegels L 0 +(E, B) der positiven
messbaren Funktionen auf E in sich durch
⎧
L ⎪⎨
0 +(E, B) →
∫
L 0 +(E, B)
∫
∫
K : f ↦→ K[., dy]f(y) := f(y)K[., dy] = f ◦ π 2 (., y) K[., dy]
⎪⎩
} {{ }
∈L 0 + (E×E,B⊗B)
mit Projektion
π 2 :
Also ist Kf nach 9.12 messbar. Offenbar ist
{
E × E → E
(x, y) ↦→ y.
K1 B (x) = K[x, B]
(B ∈ B).
Ist K[x, .] für x ∈ E ein Wahrscheinlichkeitsmaß P, so ist
∫
Kf := fdP.
Ferner ist K1 = 1 und K ist auf L 0 + Daniell-stetig, d.h. für jede Folge (f n ) n∈N ∈ (L 0 +(E, B)) N
mit f n ↑ f ist Kf n ↑ Kf.
2. Umgekehrt definiert jede Abbildung
φ : L 0 +(E, B) −→ L 0 +(E, B),
die linear und Daniell-stetig ist mit φ(1) = 1 erfüllt genau einen Kern K mit K = φ auf
L 0 +(E, B). Dieser ist durch
K[x, B] := φ(1 B )(x)
gegeben.
3. Sind K 1 und K 2 zwei Markoff-Kerne auf (E, B), so ist (K 1 ◦K 2 )(1) = 1, d.h. ein Markoff-Kern:
18.2 Definition
Der auf (E, B) definierte Markoff-Kern
∫
K 1 K 2 : (x, B) ↦−→
K 1 [x, dy]K 2 [y, B]
heißt das Produkt von K 1 und K 2 .