Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

126 KAPITEL 4. GRENZVERTEILUNGEN
14.8 Hauptsatz
Für jede Folge (P n ) n∈N0 von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf R mit Verteilungsfunktion F n und
jedes k ∈ N 0 sind äquivalent:
schwach
1. P n −−−−−→= P 0 ,
∫ ∫
2. lim fdP n =
n→∞
fdP 0
(f ∈ C (k) (R)),
3. lim
n→∞ F n(y) = F 0 (y) (y ∈ S(F 0 )).
Dabei ist S(F 0 ) wie in 14.7 die Menge der Stetigkeitsstellen von F 0 .
Beweis:
“1. ⇒ 2.”: Das ist klar, da C (k) (R) ⊆ C b (R).
“2. ⇒ 3.”: Sei y ∈ S(F 0 ) Dann gibt es für ɛ > 0 ein δ > 0, so dass für x ∈ R mit |x − y| < δ wegen
der Stetigkeit |F 0 (x) − F 0 (y)| ≤ ɛ gilt.
Es gibt Funktionen g, h ∈ C (k) (R) mit
1 (−∞;y−δ) ≤ g ≤ 1 (−∞;y] ≤ h ≤ 1 (−∞;y+δ) .
Damit ist
∫
∫
F 0 (y) − ɛ ≤ F 0 (y − δ) ≤ gdP 0 = lim inf
n→∞
∫ ∫
gdP n ≤ lim inf n(y) ≤ lim sup F n (y)
n→∞ n→∞
≤ lim sup
n→∞
hdP n = hdP 0 ≤ F 0 (y + δ) ≤ F 0 (y) + ɛ.
Damit folgt 3. aus ɛ → 0.
“3. ⇒ 1.”: Wegen 14.7 gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und reelle Zufallsvariable
(X n ) n∈N und X 0 mit X n → X 0 fast sicher mit P Xn = P n (n ∈ N 0 ). Da X n fast
sicher gegen X 0 konvergiert, ist die Konvergenz auch stochastisch und mit 14.5 auch in
schwach
Verteilung, d.h. P n −−−−−→ P 0 .
14.9 Satz (Skorohod)
Sei (P n ) n∈N0 ∈ (M 1 (R)) N0 schwach
. Gilt P n −−−−−→ P 0 , dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) und eine Folge (X n ) n∈N0 reeller Zufallsvariablen mit
P Xn = P n (n ∈ N 0 )
derart, daß X n → X 0 fast sicher, also insbesondere stochastisch.
✷
Beweis: Folgt aus 14.7 und 14.8.
✷
14.10 Korollar
Sei (P n ) n∈N0 ∈ (M 1 (R)) N0 Gilt P n
schwach
−−−−−→ P 0 , und ist die Verteilungsfunktion F 0 von P 0 überall
stetig, so konvergieren die Verteilungsfunktionen F n von P n gleichmäßig gegen F 0 .