Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

9. PRODUKTMASSE 87
Damit ist A n × B n ↑ Ω 1 × Ω 2 mit
∫
m[A n × B n ] = K 2 [ω 1 , B n ] m 1 [dω 1 ] ≤ β n m 1 [A n ] < ∞.
A n
} {{ }
≤β n
Damit ist m σ-endlich, also durch seine Werte auf dem ∩-stabilen Erzeuger der Rechtecke A 1 ×
A 2 (A i ∈ A i , i = 1, 2) nach dem Eindeutigkeitssatz 7.19 eindeutig festgelegt.
✷
9.14 Korollar
Sind m 1 bzw. m 2 σ-endliche Maße auf A 1 bzw. A 2 , so ist m 1 ⊗ m 2 das einzige Maß m auf
A 1 ⊗ A 2 mit
m[A 1 × A 2 ] = m 1 [A 1 ] · m 2 [A 2 ] (A i ∈ A i , i = 1, 2).
Für A ∈ A 1 ⊗ A 2 gilt
∫
∫
m 1 ⊗ m 2 [A] = m 2 [A(ω 1 , Ω 2 )]m 1 [dω 1 ] = m 1 [A(Ω 1 , ω 2 )]m 2 [dω 2 ].
Beweis: Zu beweisen ist nur das zweite Gleichheitszeichen. Wie im Beweis von 9.13 zeigt man,
dass
∫
A ↦→ m 1 [A(Ω 1 , ω 2 )]m 2 [dω 2 ]
ein Maß m auf A 1 ⊗ A 2 definiert mit
m[A 1 × A 2 ] = m 1 [A 1 ] · m 2 [A 2 ] (A i ∈ A i , i = 1, 2),
also m = m 1 ⊗ m 2 .
✷
9.15 Hauptsatz (Tonelli)
Sei m 1 ein σ-endliches Maß auf A 1 , K 2 ein σ-endlicher Übergangskern von (Ω 1 , A 1 ) nach
(Ω 2 , A 2 ) und m := m 1 ⊗ K 2 das Maß auf A 1 ⊗ A 2 aus 9.13. Für jede relle A 1 ⊗ A 2 -messbare
Funktion f ≥ 0 gilt
∫ ∫ ( ∫
)
fdm = f(ω 1 , ω 2 )K 2 [ω 1 , dω 2 ] m 1 [dω 1 ]
∫ ∫
=: m 1 [dω 1 ] K 2 [ω 1 , dω 2 ]f(ω 1 , ω 2 ).
Insbesondere ist f integrierbar genau dann, wenn das Doppelintegral endlich ist. Ist K 2 [ω 1 , .] =
m 2 (ω 1 ∈ Ω 1 ) ein σ-endliches Maß, so ist
∫ ∫ ( ∫
)
fdm = f(ω 1 , ω 2 )m 2 [dω 2 ] m 1 [dω 1 ]
∫ ( ∫
)
= f(ω 1 , ω 2 )m 1 [dω 1 ] m 2 [dω 2 ].
Insbesondere ist f integrierbar genau dann, wenn ein Doppelintegral endlich ist.
Beweis: Die Integrierbarkeitsaussagen folgen aus 4.7.4.
Die Formel ergibt sich nach 9.12 aus dem Beweisprinzip 4.12, da
∫
ν : f ↦→ K 2 [ω 1 , dω 2 ]f(ω 1 , ω 2 )