Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

16. DER SATZ VOM ITERIERTEN LOGARITHMUS 145
Dann ist
und damit
B i ∩ B j ⊆ {S i ≤ x} ∩ {S i ≥ x} = ∅ (i < j),
n⊎
B k = { max S k > α} ⊇ A n
1≤k≤n
A n =
k=1
n⊎
B k ∩ A n , also P[A n ] =
k=1
Für k < n ist wegen B k ⊆ A k = {S k > x}
n∑
P[B j ∩ A n ].
j=1
B k ∩ {S n > S k } ⊆ B k ∩ {S n > x} = B k ∩ A n .
Wegen der Unabhängigkeit der Familie (X n ) n∈N folgt
1
2 P[B k] = P[S n > S k ]P[B k ] = P[B k ∩ {S n > S k }] ≤ P[B k ∩ A n ],
[ n
1
2P[ max S k > x] = 1
1≤l≤n
2 P ⊎ ] n∑
n−1
∑
B k = 1 2
P[B k ] ≤ P[B k ∩ A n ] + P[B n ] = P[A n ]
k=1
k=1
k=1
[ ] [
S
= P[S n > x] = P √n n
> √ x
x
n
= 1 − Φ √ n
],
da P Sn √n
= N 0,1 . Somit haben wir
gezeigt. Sei nun
Damit ist Ψ ≥ 0, isoton.
Für α > 0 und n ∈ N definieren wir
(
P[ max S k > x] ≤ 2 1 − Φ ( x ) ) √n (x ∈ R, n ∈ N) (∗)
1≤l≤n
Ψ : x ↦→
Ist α ′ ≤ α, so gilt also A α n ⊆ A α′
n
{
S
}
n
lim sup
n→∞ σ n Ψ(n) > α
Es genügt zu zeigen:
1. P[A α ] = 0 (α > 1)
2. P[A α ] = 1 (α < 1)
{ √2 log log x, x ≥ 3
Ψ(3), x < 3.
A α n := {S n > α √ nΨ(n)}.
(n ∈ N) und es ist
= A α := lim sup
=
{
lim sup
n→∞
n→∞
Dann ist nämlich
[
S
] [
n
P lim sup √ = 1 = P lim sup
n→∞ 2n log log n n→∞
[ ⋂
∞
= P
k=1
A α n ⊆ A α′
n
S n
σ n Ψ(n) > α′} .
A 1−
1
k
S
]
n
σ n Ψ(n) ≥ 1
]
− P
[ ∞ ⋃
k=1
⊆ lim sup A α′
n =: A α′
n→∞
[
− P lim sup
n→∞
]
A 1+
1
k
= 1 − 0 = 1.
S
]
n
σ n Ψ(n) > 1