Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

14. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGEN 125
14.6 Beispiel
Die Rademacher-Funktionen X n aus 12.3 konvergieren in Verteilung, weil
Vert Xn = B(1, 1 2 ) P[X n = 1] = 1 ) (n ∈ N),
2
aber nicht stochastisch, denn für 0 < ɛ < 1 gilt
P[|X n − X m | > ɛ] = 2 · 1
4 = 1 2
14.7 Satz
Sei (P n ) n∈N ∈ (M 1 (R)) N eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und P 0 ∈ M 1 (R). Mit
S(F 0 ) := {x ∈ R : F 0 stetig in x}
gelte für die Folge der Verteilungsfunktionen (F n ) n∈N von (P n ) n∈N und F 0 von P 0
F n (x) → F 0 (x) (x ∈ S(F 0 )).
Dann gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine Folge (X n ) n∈N0 reeller Zufallsvariablen
mit P Xn = P n (n ∈ N 0 ) derart, daß X n → X 0 fast sicher, also insbesondere stochastisch.
Beweis: Definiere Ω := (0; 1), A = B(R) und P := λ1 Ω als die Gleichverteilung auf Ω. Sei X n
die inverse Verteilungsfunktion von P n (n ∈ N), definiert durch
X n := F − n :
{
Ω
ω
→ R
↦→ inf{y ∈ R : F n (y) ≥ ω}.
Damit gilt
X n (ω) ≤ y ⇐⇒ ω ≤ F n (y) (y ∈ R, ω ∈ Ω, n ≥ 0),
also
P Xn [(−∞; y]] = P[X n ≤ y] = λ1 Ω [(−∞; F n (y)]] = F n (y)
Damit ist nach 7.27 P Xn = P n (n ≥ 0). Die Menge CS(F 0 ) der Unstetigkeitsstellen der isotonen
Funktion F 0 ist höchstens abzählbar, also eine λ1 Ω -Nullmenge. Es genügt also zu zeigen, daß
lim X n(ω) = X 0 (ω) (ω ∈ S(F 0 )).
n→∞
Sei dazu ω ∈ S(F 0 ), ɛ > 0 und y 1 < X 0 (ω) < y 2 mit y 1 , y 2 ∈ S(F 0 ) und y 2 −y 1 ≤ ɛ. Nach Definition
ist dann F 0 (y 1 ) < ω < F 0 (ω 2 ). Also gilt für schließlich alle n ∈ N : F n (y 2 ) < ω < F n (y 2 ), d.h.
y 1 < X n (ω) ≤ y 2 und damit
|X n (ω) − X 0 (ω)| ≤ y 2 − y 1 ≤ ɛ
für schließlich alle n. Mit ɛ → 0 folgt die Behauptung.
✷