Skriptum zur Wahrscheinlichkeitstheorie

11. MASSE MIT DICHTEN 103
11 Maße mit Dichten
Sei stets (Ω, A, m) ein Maßraum
11.1 Satz
Für jede messbare Funktion g ≥ 0 ist
⎧
⎨A → [0;
∫
∞]
g · m :
⎩A
↦→ gdm
ein Maß auf A. Dabei heißt g eine Dichte von g · m bzgl. m.
Eine messbare Funktion f ist genau dann g · m-integrierbar, wenn f · g m-integrierbar ist. In
diesem Fall, oder wenn f ≥ 0, gilt:
∫
∫
fd(g · m) = f · gdm.
A
Beweis: Wegen g ∈ L 0 +(Ω, A) ist mit 4.17 g · m ein Inhalt. Für A ∈ A, (A n ) n∈N ∈ A N mit A n ↑ A
ist g · 1 An ↑ g · 1 A . Nach Beppo Levi 6.1 ist damit g · m stetig von unten, also nach 2.3 ein Maß.
Die Formel folgt aus dem Beweisprinzip der Maßtheorie 4.12. Die Abbildung
⎧
⎨L + 0 (Ω, A) → [0;
∫
∞]
ν :
⎩f
↦→ f · gdm
ist nämlich ein Daniell-Integral mit
∫
ν(1 A ) = gdm = g · m[A]
A
(A ∈ A).
✷
11.2 Korollar
Sind f, g ≥ 0 messbar, so gilt
f · (g · m) = (f · g) · m.
Beweis: Für A ∈ A gilt
∫
∫
∫
f(g · m)[A] = fd(gm) = f1 A dgm 11.1
= (f1 A )gdm
A
∫
∫
= (fg)1 A dm = fgdm = ( (fg)(m) ) [A].
A
✷
11.3 Satz
Hat eine reelle Zufallsvariable eine Dichte g bzgl. eines Maßes m auf (R, B(R)), so ist, sofern
existent
∫
E[X] = xg(x)m[dx],
∫
Var[X] =
( ∫
x 2 g(x)m[dx] −
) 2
xg(x)m[dx]